6.9. Приложение 2. Леммы о продолжении

В этом разделе доказываются некоторые утверждения, использовавшиеся ранее в этой главе и необходимые для дальнейшего, относящиеся к продолжению заданных в области функций на большие области и заданных на границе области функций на область.

Будем использовать разбиение единицы. Пусть открытое множество в покрытое счетной совокупностью открытых множеств Счетное число функций называется локально конечным разбиением единицы, подчиненным покрытию если:

(i) для некоторого

(iii) для каждой точки множества существует окрестность, в которой только конечное число из функций не равны нулю. Доказательство существования такого разбиения единицы можно найти в литературе (например, в [107]; см. также задачу 6.8). Используемая далее конструкция разбиения единицы сравнительно проста.

Лемма 6.37. Пусть область в класса и пусть открытое множество, содержащее Предположим, что и Тогда существует функция такая, что и выполняется неравенство

с постоянной

Доказательство. Пусть диффеоморфизм класса выпрямляющий границу вблизи точки и пусть соответственно шар и полушар, получающиеся после выпрямления границы. Полагая и определим продолжение функции на равенством

в котором постоянные, удовлетворяющие системе уравнений

Несложно проверить, что так продолженная функция и непрерьюна вместе, со всеми производными до порядка в области и что Таким образом, для каждой точки существует шар такой, что Следовательно, функция является продолжением функции и в область причем является функцией класса . В силу (6.30) выполняется неравенство (6.94), в котором надо заменить на

Рассмотрим теперь конечное покрытие границы шарами пусть соответствующее шару продолжение

класса построенное выше (шар В надо заменить на Мы можем считать, что радиусы шаров столь малы, что объединение этих шаров с областью вложено в Пусть открытое подмножество области такое, что совокупность является открытым покрытием области Пусть разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Положим считая, что там, где Как видно из предыдущих рассуждений, функция является продолжением функции и на и имеет требуемые свойства.

Следующий результат касается продолжения граничной функции в область с сохранением класса регулярности.

Лемма 6.38. Пусть область в класса и пусть открытое множество, содержащее Предположим, что функция Тогда существует функция такая, что на

Доказательство. Для произвольной точки рассмотрим отображение и шар определенные аналогично тому, как это делалось в доказательстве предыдущей леммы. Ясно, что Определим в функцию и положим для Ясно, что где некоторый шар, и что Пусть теперь конечное покрытие границы шарами, такими, как шар В, и пусть соответствующие продолжения класса определенные в шарах Доказательство утверждения леммы теперь завершается точно так же, как и в предыдущей лемме, с помощью соответствующего разбиения единицы.

Замечания. 1) Если функция где то методами, аналогичными использованным выше, можно показать существование продолжения где открытое множество, содержащее Несложная модификация этих методов позволяет показать, что если произвольная область, граница которой содержит кусок класса и если функция принадлежит то существует такое продолжение класса функции на содержащее открытое множество что Для доказательства этого утверждения используется счетное покрытие шарами куска Если то продолжение можно осуществить так, что 2) конструкция продолжающей функции нередко — например, для областей, достаточно простых с геометрической точки зрения — может быть осуществлена более простыми методами. Пусть, например, шар в Продолжение функции на все можно получить по формуле где такая бесконечно дифференцируемая функция, что при при Ясно, что функция совпадает с функцией на принадлежит и классу в конической области, ограниченной лучами, выходящими из точки и проходящими через точки

Примечания

Априорные оценки и теоремы существования, изложенные в разделах 1—3, являются современным вариантом результатов исследований Шаудера [346], [347]. Приблизительно в то же самое время Каччиополи [117] доказал, за исключением некоторых деталей, аналогичные утверждения, которые затем были усовершенствованы Мирандой [195]. Сходные идеи имеются в работе [326] Хопфа, который первым доказал теоремы о внутренней регулярности, изложенные в разделе 4. Проблема существования и общие свойства решений по существу для того же самого класса задач были ранее изучены Жиро [95—97], использовавшим для этого метод интегральных уравнений, связанный с представлением решений в виде поверхностных потенциалов. Дальнейшие усовершенствования этих методов, позволившие усилить получаемые результаты, были даны Мирандой [195]. Хёрмандер [333], используя метод Фурье, обобщил шаудеровские оценки на уравнения произвольного порядка.

Формулировки внутренних оценок раздела 1, использующие внутренние нормы, и метод дифференцирования следуют Дуглису и Ниренбергу [92], распространившим также внутренние оценки на эллиптические системы. Если сначала, с помощью теоремы 4.6, получить оценки для шаров и преобразовать их в оценку 6.14 для внутренней нормы в то можно в некоторой степени упростить доказательство теоремы 6.2. См., например, доказательство теоремы 9.11.

Вывод глобальных оценок, изложенных в разделе 6.2, и основанное на этих оценках доказательство теоремы 6.8 осуществляются в предположении, что граничные данные принадлежат При более слабых условиях доказательство теорем существования решений, скажем, из не следует из теории Шаудера в ее обычной форме. Подобная теорема существования выводится из результатов о регулярности, полученных Видманом [52]. Гилбарг и Хёрмандер [68] обобщили глобальную шаудеровскую теорию, ослабив требования на регулярность коэффициентов, области и граничных значений. Эти результаты, применимые также и к исследованию регулярности высокого порядка, сформулируем в следующем виде?

Пусть пространство Гёльдера функций с конечной нормой Пусть Для введем множество состоящее из определенных в функций, принадлежащих для всех и имеющих конечную норму

При и нецелом имеет место вложение верхний и нижний индексы у нормы описывают глобальную и внутреннюю регулярность функции и соответственно. Определим также как множество функций таких, что при . Пусть ограниченная область класса с некоторым нецелые числа такие, что Рассмотрим

на эллиптический дифференциальный оператор второго порядка

удовлетворяющий условиям

(таким образом младшие коэффициенты могут быть неограниченными при Тогда если функция и является решением задачи

где то и выполняется неравенство

с постоянной С, зависящей от норм коэффициентов и минимального собственного значения матрицы старших коэффициентов оператора

При задача Дирихле (6.95) имеет в единственное решение, а в общем случае справедлива теорема типа Фредгольма. Случай, когда рассмотрен в этой главе. Если Липшицев а область, то аналогичные результаты верны для значений зависящих от условия внешнего конуса, имеющего место на границе. При этом достаточно, чтобы для так 410 старшие коэффициенты не обязаны быть непрерывными вплоть до границы.

Условия, при которых граничная точка, регулярная для оператора Лапласа А, является регулярной граничной точкой для эллиптического оператора и наоборот, изучались многими авторами. Эквивалентность понятий регулярности граничной точки для А и для была доказана: для строго эллиптического оператора удовлетворяющего условиям теоремы 6.13 и условию, что вблизи границы коэффициенты оператора непрерывны по Липшицу [362] или непрерывны по Дини [131], [221] для некоторых классов операторов с разрывными коэффициентами [12]; для вырожденных эллиптических операторов [222]. Важную роль в этих исследованиях играют понятия емкости и критерий Винера (раздел 2.9). Если коэффициенты оператора только непрерывны, то утверждение об эквивалентности понятий регулярной точки для А и для L в общем случае не справедливо (см. пример в задаче 3.8а) и [193]). Но для уравнений дивергентного вида это утверждение об эквивалентности справедливо, даже если коэффициенты только ограничены и измеримы [179] (см. также гл. 8). О других результатах, относящихся к регулярности граничных точек, см. [220], [181], [153], [191-192].

Хопф [326] дал непосредственное доказательство результата о внутренней регулярности (лемма 6.16), не использующее теорему существования. Его метод, основанный на идее Корна [129] возмущения уравнения

с постоянными коэффициентами, приводит к обобщению результатов из [325] о регулярности решений вариационных задач и предвосхищает важные аспекты теории Шаудера. Простое прямое доказательство леммы 6.16 (и более общих результатов), основанное на регуляризации и внутренних оценках, имеется в [2, с. 723].

О других методах см. доказательство леммы 9.16, а также [208], раздел 5.6.

Простое доказательство регулярности решения вплоть до границы (лемма 6.18) может быть осуществлено следующим образом. Достаточно доказать, что и после чего применить такие же рассуждения, как и при доказательстве леммы 6.16. Рассматривая вместо и разность и - можно считать, что Пусть и пусть Для любого предположим, что Тогда в силу результата задачи 3.6 имеем для и поэтому для всех Беря в (6.23) области получаем, что для всех

и поэтому

где постоянная С зависит только от 5 и от данных задачи. Если то это же самое неравенство имеет место с постоянной С, зависящей теперь от Таким образом, получается оценка откуда следует, что и .

В разделе 6.5 изложены в модифицированном виде идеи Михаэля [201], показавшего, что в общем случае вопрос о существовании решений с непрерывными граничными значениями может быть изучен с использованием только внутренних оценок. Его результаты применимы к некоторым классам уравнений с неограниченными вблизи границы коэффициентами (см. задачи 6.5 и 6.6).

В разделе 6.6 рассмотрены некоторые классы неравномерно эллиптических операторов, у которых допускается вырождение на границе. Теория эллиптических операторов, вырождающихся внутри области, основывается на других методах, существенно отличающихся от методов этой главы. Соответствующие результаты читатель может найти в литературе по гипоэллиптичности - см., например, [332], [227], [124].

Некоторые аспекты изложенной в разделе 6.7 шаудеровской теории задачи с косой производной отличаются от известных ее вариантов. Например, Фиоренца [310] основывал свой подход на представлении решений краевой задачи (6.60) для уравнения Пуассона в полупространстве в виде поверхностных потенциалов, к которым применял некоторые результаты Жиро [97]. В случае переменных коэффициентов установленные им оценки шаудеровского типа демонстрируют точную зависимость от границ изменения коэффициентов и их постоянных Гёльдера. Эта зависимость использована в [147], гл. 10, Фиоренцой [311] и Уральцевой [298] при изучении квазилинейных уравнений с нелинейными граничными условиями

Обобщение шаудеровской теории на другие типы граничных задач для уравнения высокого порядка и для систем было осуществлено Агмоном, Дуглисом и Ниренбергом [2-3]. Их метод основан на явном интегральном представлении решений задач для случая уравнений и систем с постоянными коэффициентами в полупространстве с помощью ядер Пуассона, соответствующих заданным граничным условиям. Хотя детали их изложения отличаются от изложенных здесь, можно в определенном смысле считать, что методы, использованные в разделе 6.7, являются специальным случаем этих рассмотрений. См. также Булиган [49]. Исследование нерегулярной задачи с косой производной, в которой производная по направлению в граничном условии может становиться тангенциальной (т.е. в (6.76) возможно равенство значительно труднее исследования регулярного случая. Получающиеся при этом результаты носят другой характер - см., например, [331], [94], [276] и [57-58].

Изучение внешних граничных задач может быть без труда проведено с помощью результатов этой главы. Мейерс и Серрин [187] рассмотрели краевую задачу для уравнения в области содержащей внешность некоторого шара, в предположении, что коэффициент с а коэффициенты оператора и функция непрерывны по Гёльдеру на ограниченных подмножествах в При некоторых общих условиях на поведение коэффициентов на бесконечности они установили существование решения в как предела последовательности решений, строящихся для расширяющейся последовательности областей. В частности, они получили следующий результат: если на бесконечности и матрица имеет ранг, не меньший 3, то существует единственное решение в задачи Дирихле (и других задач), обращающееся в нуль на бесконечности. При выполнении перечисленных выше условий в случае оператор может быть неравномерно эллиптическим на бесконечности, но краевая задача будет все-таки корректно поставлена. Обобщение теории Шаудера для аналогичных областей включая оценки Гёльдера на бесконечности и соответствующие исследования внешних задач Дирихле и Неймана, было дано Осколковым [228]. При внешняя задача Неймана для класса квазилинейных уравнений изучалась в [308].

Интерполяционные неравенства, доказанные в приложении 1, довольно просто выводятся из общего свойства выпуклости гёльдеровских норм:

где

причем этом неравенстве нормы могут быть как внутренними, так и глобальными. Доказательство этого неравенства см. у Хёрмандера [333].

Задачи

(см. скан)

(см. скан)