7.6. Теоремы о плотности
Из лемм 7.2 и 7.3 следует, что если функция и принадлежит пространству 
то для всех мультииндексов а, удовлетворяющих неравенству 
производные 
стремятся при 
к производной 
в смысле 
Используя этот факт, докажем общий результат об аппроксимации.
Теорема 7.9. Подпространство 
плотно в 
Доказательство. Пусть 
подобласти области 
удовлетворяющие соотношениям 
и пусть 
разбиение единицы (см. задачу 6.8), подчиненное покрытию 
определяем как пустые множества. Тогда для произвольной и 
и произвольного 
мы можем выбрать числа 
удовлетворяющие неравенствам
Обозначая 
из (7.25) получаем, что только конечное число 
не обращаются в нуль на произвольном подмножестве 
Следовательно, функция 
принадлежит пространству 
Кроме того,
Этим завершается доказательство. 
Теорема 7.9 показывает, что пространство 
можно определить как пополнение пространства 
по норме (7.22). Во многих случаях такое определение предпочтительнее.
В формулировке теоремы 7.9 в случае произвольной области 
заменить 
на 
нельзя. Однако 
плотно в 
для широкого класса областей 
. В этот класс входят, например, области класса 
(см. задачу 7.11). Справедлив следующий более общий факт: если область 
удовлетворяет условию сегмента (это означает, что существуют локально конечное открытое покрытие 
границы 
и соответствующие векторы у такие, то 
для всех 
, то пространство 
плотно в 
(см. [4]).
