7.2. Осреднение и аппроксимация гладкими функциями

Пространства введенные в гл. 4, являются локальными пространствами. Локальные аналоги пространств мы вводим как линейные прстранства измеримых функций, локально интегрируемых в степени по и обозначаем через Пространства не нормируемы, но в них можно ввести топологию. А именно, будем говорить, что последовательность сходится к и в смысле если последовательность сходится к в метрике пространства для каждой области

Пусть неотрицательная функция из обращающаяся в нуль вне единичного шара и удовлетворяющая условию Такую функцию нередко называют сглаживающей. Типичный пример такой функции — функция

где число с определяется из условия график которой имеет колоколообразную форму. Для функции и и числа определим осреднение с помощью свертки по формуле

Ясно, что принадлежит в любой области если только Если же и область ограничена, то при любом функция принадлежит

При функция , стремится к дельта-функции Дирака, сосредоточенной в точке Важной особенностью осреднений

которую мы сейчас слегка наметили, является тот смысл, в котором аппроксимируют и при Грубо говоря, если функция и принадлежит локальному пространству, то осреднения иаппроксимируют и в естественной топологии этого пространства.

Лемма 7.1. Пусть и Тогда осреднения сходятся к функции и равномерно в любой области Доказательство. Имеем

следовательно, если то

Так каки равномерно непрерывна на множестве , то стремится к и равномерно в

Сходимость, о которой говорится в лемме 7.1, будет равномерной по всей области если функция и непрерывна вплоть до границы и равна на ней нулю. Более того, если и и существует функция и такая, что для некоторой области то осреднение функции и в области при сходится к и равномерно в

Процесс осреднения может быть применен также для аппроксимации непрерывных по Гёльдеру функций. В частности, если и

где следовательно, осреднения при стремятся к и в смысле метрики при любых Используя лемму 637 и лемму 7.3 из следующего раздела, можно получить результаты об аппроксимации функций из (см. раздел 63).

Обратимся теперь к вопросу об аппроксимации функций из пространств

Лемма 7.2. Пусть Тогда осреднения при сходятся к в смысле

Доказательство. Используя неравенство Гёльдера, мы получаем из (7.13), что

поэтому если то

где Следовательно,

Доказательство теперь можно завершить с помощью аппроксимации, опираясь на лемму Пусть такая непрерывная в функция, что где . В силу леммы 7.1 для достаточно малых справедливо неравенство Применяя оценку к разности мы получаем неравенство

для достаточно малых Следовательно, осреднения сходятся к функции и в Утверждение для функции и получается из установленного результата, если продолжить функцию нулем вне и применить этот результат в