которую мы сейчас слегка наметили, является тот смысл, в котором
аппроксимируют и при
Грубо говоря, если функция и принадлежит локальному пространству, то осреднения иаппроксимируют и в естественной топологии этого пространства.
Лемма 7.1. Пусть и
Тогда осреднения
сходятся к функции и равномерно в любой области
Доказательство. Имеем
следовательно, если
то
Так каки равномерно непрерывна на множестве
, то стремится к и равномерно в
Сходимость, о которой говорится в лемме 7.1, будет равномерной по всей области
если функция и непрерывна вплоть до границы
и равна на ней нулю. Более того, если и
и существует функция и такая, что
для некоторой области
то осреднение
функции и в области
при
сходится к и равномерно в
Процесс осреднения может быть применен также для аппроксимации непрерывных по Гёльдеру функций. В частности, если и
где
следовательно, осреднения
при
стремятся к и в смысле метрики
при любых
Используя лемму 637 и лемму 7.3 из следующего раздела, можно получить результаты об аппроксимации функций из
(см. раздел 63).
Обратимся теперь к вопросу об аппроксимации функций из пространств
Лемма 7.2. Пусть
Тогда осреднения
при
сходятся к
в смысле
Доказательство. Используя неравенство Гёльдера, мы получаем из (7.13), что
поэтому если
то