8.7. Сильный принцип максимума

Теорема 8.19. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5), (8.6) и (8.8) и пусть функция и удовлетворяет неравенству Тогда, если для некоторого шара справедливо неравенство

то функция и постоянна в Кроме того, если и то в (8.8) имеет место равенство.

Доказательство. Обозначив через В, не ограничивая общности, предполагаем, что Пусть Применяя слабое неравенство Харнака к суперрешению и, получим неравенство из которого следует, что Применяя далее рассуждения, аналогичные рассуждениям в доказательстве теоремы 2.2, мы получаем, что и

Теорема 8.19 показывает, что внутри области субрешение уравнения не может иметь положительный максимум, понимаемый в некотором обобщенном смысле. Для непрерьюного субрешения утверждение является сильным принципом максимума в классическом смысле. Сильный принцип минимума дня суперрешений уравнения получается из доказанного утверждения немедленно, с помощью замены и на — и. Прямым следствием доказанного утверждения является также и слабый принцип максимума (теорема 8.1) дня субрешений класса