8.7. Сильный принцип максимума
Теорема 8.19. Пусть оператор
удовлетворяет условиям (8.5), (8.6) и (8.8) и пусть функция и
удовлетворяет неравенству
Тогда, если для некоторого шара
справедливо неравенство
то функция и постоянна в
Кроме того, если и
то в (8.8) имеет место равенство.
Доказательство. Обозначив
через В, не ограничивая общности, предполагаем, что
Пусть
Применяя слабое неравенство Харнака
к суперрешению
и, получим неравенство
из которого следует, что
Применяя далее рассуждения, аналогичные рассуждениям в доказательстве теоремы 2.2, мы получаем, что и
Теорема 8.19 показывает, что внутри области субрешение уравнения
не может иметь положительный максимум, понимаемый в некотором обобщенном смысле. Для непрерьюного субрешения утверждение является сильным принципом максимума в классическом смысле. Сильный принцип минимума дня суперрешений уравнения
получается из доказанного утверждения немедленно, с помощью замены и на — и. Прямым следствием доказанного утверждения является также и слабый принцип максимума (теорема 8.1) дня субрешений класса