8.7. Сильный принцип максимума
Теорема 8.19. Пусть оператор 
удовлетворяет условиям (8.5), (8.6) и (8.8) и пусть функция и 
удовлетворяет неравенству 
Тогда, если для некоторого шара 
справедливо неравенство
то функция и постоянна в 
Кроме того, если и 
то в (8.8) имеет место равенство.
Доказательство. Обозначив 
через В, не ограничивая общности, предполагаем, что 
Пусть 
Применяя слабое неравенство Харнака 
к суперрешению 
и, получим неравенство 
из которого следует, что 
Применяя далее рассуждения, аналогичные рассуждениям в доказательстве теоремы 2.2, мы получаем, что и 
Теорема 8.19 показывает, что внутри области субрешение уравнения 
не может иметь положительный максимум, понимаемый в некотором обобщенном смысле. Для непрерьюного субрешения утверждение является сильным принципом максимума в классическом смысле. Сильный принцип минимума дня суперрешений уравнения 
получается из доказанного утверждения немедленно, с помощью замены и на — и. Прямым следствием доказанного утверждения является также и слабый принцип максимума (теорема 8.1) дня субрешений класса 
