4.4. Оценки вблизи границы

Теорема 4.8 будет использована в гл. 6 для получения внутренних оценок Гёльдера для решений линейных эллиптических уравнений. Для получения же глобальных оценок, которые требуются для исследования разрешимости, нужен вариант теоремы 4.8, применимый к пересечению области О, с полупространством.

Вначале получим соответствующее обобщение оценки Гёльдера для ньютонова потенциала (лемма 4.4). Далее через будем обозначать полупространство и через гиперплоскость шары с центром в точке и положим

Лемма функция и пусть ньютонов потенциал с плотностью Тогда и

Доказательство. Предположим, что пересекает так как в противном случае результат содержится, очевидно, в лемме 4.4. Представление (4.9) верно для Если один из индексов или отличен от то часть интеграла по границе

которая соответствует интегрированию по равна нулю, так как там или равны 0, Оценка или не равны леммы 4.4 тогда получается точно так же, как и выше, с заменой на на на Наконец, так как оценки для установлены, то производная может быть оценена из уравнения

Теорема 4.11. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению правой частью и пусть и - Она Тогда и и

Доказательство. Пусть Определим функцию равенствами

Предположим, что пересекается с иначе (4,24) следует из теоремы 4.6. Обозначим Тогда

имеем задачу в Заметав, что

получаем

Положим В силу замечания, следующего за леммой 4.4 (в котором мы положим ), имеем

Объединяя полученное неравенство с леммой 4,10, получаем

Положим теперь Тогда на Отражением функцию можно продолжить в (см. задачу 2.4) так, что полученная функция будет гармонична в Тогда оценка (4.24) следует из внутренней оценки производной для гармонической функции, теоремы 2.10.

Замечание. Если дополнительно к условиям теоремы 4.11 функция и имеет компактный носитель в то мы получаем из (4.26) более простую оценку (обобщение (4.14)) вида

В этом случае имеем представление

Полезно иметь аналог теоремы 4.8, в котором дается оценка вплоть до плоского куска границы. Для его получения введем некоторые частично внутренние нормы и полунормы, аналогичные (4.17) и Пусть открытое подмножество лежащий на гиперплоскости открытый кусок его границы. Для будем писать

Введем следующие величины:

Используя эти обозначения, сформулируем следующее утверждение.

Теорема 4.12. Пусть открытое множество в лежащий на гиперплоскости кусок его границы, и пусть функция и удовлетворяет в О, уравнению правой частью и граничному условию и на Тогда

Этот результат следует из теоремы 4.11 точно так же, как теорема 4.8 следует из теоремы 4.6; поэтому доказательство мы опускаем.

Теоремы 4.11 и 4.12 дают результаты о регулярности решений уравнения Пуассона вплоть до плоского куска границы. Справедлив более общий результат: если ограниченная область, функция и удовлетворяет в уравнению правой и если граница и граничные значения и достаточно гладкие, то и Этот результат — по существу, теорема Келлога [121] — будет попутно установлен в гл. 6 при рассмотрении линейных эллиптических уравнений. Тем не менее получим его сейчас для случая, когда есть шар; в этой ситуации он непосредственно следует из теоремы 4.11.

Теорема 4.13. Пусть В - шар в а функция удовлетворяет в В уравнению правой частью Тогдаи

Доказательство, Параллельным переносом можно добиться того, что граница пройдет через начало координат. Преобразование инверсии является гомеоморфным гладким отображением на себя, которое отображает шар В на полупространство В.

Кроме того, если и то преобразование Кельвина функции определяемое равенством

принадлежит и удовлетворяет (см. задачу 4.7) соотношениям

Следовательно, к преобразованию Кельвина и применима теорема 4.11, а так как с помощью параллельного переноса любая точка границы может быть сделана началом координат, то получаем, что и

Следствие 4.14. Пусть Тогда задача Дирихле на однозначно разрешима и решение и принадлежит

Доказательство. Обозначая , сведем рассматриваемую задачу к задаче на для которой по теореме 4.3 существует решение а по теореме Из доказательства теоремы 4.13 видно, что справедливо следующее обобщение леммы 4.4: если то ньютонов потенциал с плотностью на В принадлежит