2.8. Задача Дирихле; метод субгармонических функций

Теперь мы можем перейти к изучению вопроса о существовании решений классической задачи Дирихле в произвольной ограниченной области. Метод, используемый нами, является развитием метода Перрона

субгармонических функций [234], который существенно опирается на принцип максимума и разрешимость задачи Дирихле для шара. Этот метод имеет ряд привлекательных особенностей; он элементарен, отделяет собственно задачу существования от изучения граничного поведения решений и очевидным образом обобщается на более общие классы эллиптических уравнений второго порядка. Имеются другие хорошо известные методы получения теорем существования, такие как метод интегральных уравнений, использованный, например, в книгах [122], [74], вариационный метод или метод гильбертова пространства, который мы опишем далее в гл. 8.

Определение субгармонических и супергармонических функций класса следующим образом обобщается на непрерывные функции. Непрерывная в области 12 функция и назьюается субгармонической (супергармонической) в 12, если для любого шара и любой функции гармонической в В и удовлетворяющей неравенству на имеет место неравенство в В. Легко устанавливаются следующие свойства непрерывных субгармонических функций:

(i) Для непрерывной субгармонической в области 12 функции и справедлив сильный принцип максимума, а если функция супергармонична в ограниченной области на 312, то либо всюду в 12, либо

Чтобы доказать последнее утверждение, предположим противное. Тогда в некоторой точке и можно считать, что существует такой шар что и на Пусть гармонические функции, равные на (теорема 2.6). Тогда

и, следовательно, в этой формуле знаки неравенств можно заменить на знаки равенства. В силу сильного принципа максимума для гармонических функций (теорема 2.2) а тогда и на что противоречит выбору шара В.

(ii) Пусть функция и субгармонична в и В — шар, лежащий строго внутри 12. Обозначим через и гармоническую в В функцию, которая задается интегралом Пуассона по значениям и на удовлетворяющую равенству на Определим в 12 гармоническую срезку и относительно В равенством

Функция будет субгармонической в .

Действительно, пусть произвольный шар в и пусть А — гармоническая в В функция, удовлетворяющая неравенству на Так как то в и, следовательно, Но гармонична в Поэтому в силу принципа максимума Следовательно, А в т.е. субгармонична в .

(iii) Пусть функции их, субгармоничны в . Тогда функция также субгармонична в .

Это свойство является тривиальным следствием определения субгармоничности. Соответствующие результаты для супергармонических функций получаются заменой в свойствах функции и на .

Пусть теперь — ограниченная область, а ограниченная функция на . Непрерьюная в субгармоническая функция и назьюается субфункцией относительно если она удовлетворяет неравенству на . Аналогично непрерывная в супергармоническая функция и называется суперфункцией относительно если на .

В силу принципа максимума каждая субфункция меньше или равна любой суперфункции. Субфункциями (суперфункциями) являются, в частности, постоянные функции, значения которых не больше (не меньше Обозначим через множество всех субфункций для

Основной результат метода Перрона содержится в следующей теореме. Теорема 2.12. Функция гармонична в .

Доказательство. В силу принципа максимума любая функция удовлетворяет неравенству следовательно, функция и определена всюду на . Пусть у — произвольная фиксированная точка . По определению функции и существует такая последовательность что Заменяя на мы можем считать, что последовательность ограничена. Выберем теперь так, чтобы шар и обозначим через гармоническую срезку функции относительно см. формулу (2.33). Тогда и в силу теоремы 2,11 последовательность содержит подпоследовательность сходящуюся равномерно в любом шаре с радиусом к гармонической в В функции и. Ясно, что в В и что Покажем теперь, что на самом деле в В.

Предположим, что в некоторой точке Тогда существует такая функция что Полагая и взяв гармоническую срезку этой функции, см. формулу (2.33), мы, как и ранее, получим подпоследовательность последовательности сходящуюся к гармонической функции удовлетворяющей неравенствам причем Но тогда в силу принципа максимума должно выполняться равенство в В, что противоречит выбору и. Таким образом, функция и гармонична в

Мы конструктивно построили гармоническую функцию, которую естественно считать решением (она называется решением Перрона) классической задачи Дирихле: В самом деле, если задача Дирихле разрешима, то ее решение совпадает с решением Перрона. Действительно, пусть есть предполагаемое решение. Тогда, очевидно, а в силу принципа максимума для всех Заметим, что в доказательстве теоремы 2.12 можно вместо теоремы о компактности (теорема 2.11) воспользоваться теоремой Харнака о сходимости, теорема 2.9. (См. задачу 2.10.)

В методе Перрона изучение граничного поведения решения существенно отделено от вопроса о его существовании. Непрерывное достижение решением Перрона заданных граничных значений определяется геометрическими свойствами границы рассматриваемой области и изучается с помощью барьерных функций

Пусть точка Функция принадлежащая называется барьером в точке для , если

(i) супергармонична в ,

Более общее определение барьера требует, что супергармоническая функция является лишь непрерьюной и положительной в области 12 и удовлетворяет условию при х. Результаты этого раздела в том же самом виде справедливы и для таких слабых барьеров (см., например, [330, с. 168]).

Важной особенностью концепции, основанной на построении барьеров, является тот факт, что он опирается лишь на локальные свойства границы 312. А именно, пусть определена функция являющаяся локальным барьером в точке т.е. существует такая окрестность Сточки что функция удовлетворяет данному выше определению в Тогда барьер в точке для может быть построен следующим образом. Пусть В есть шар, удовлетворяющий условиям и пусть

Функция

будет барьером в точке для . В этом можно убедиться, проверив выполнение свойств В самом деле, функция непрерывна в и является супергармонической в в силу свойства (iii) субагармонических функций; свойство (ii) очевидно.

Граничную точку будем называть регулярной (для уравнения Лапласа), если в этой точке существует барьер.

Связь между существованием барьера и граничным поведением решения описью ается следующим утверждением.

Лемма 2.13. Пусть и - гармоническая в функция, определенная в теореме 2.12. Тогда если регулярная точка границы области , а функция у непрерывна в то при

Доказательство. Возьмем произвольное и пусть Так как регулярная граничная точка, то существует барьер в точке и благодаря непрерывности у существуют такие постоянные что Функции являются соответственно суперфункцией и субфункцией для Следовательно, согласно определению силу того, что каждая суперфункция превосходит каждую субфункцию, имеем для

или

Отсюда, поскольку при получаем, что при

Из доказанного утверждения непосредственно получаем следующую теорему.

Теорема 2.14. Классическая задача Дирихле в ограниченной области разрешима для любых непрерывных граничных значений тогда и только тогда, когда все граничные точки области регулярны.

Доказательство. Если граничная функция непрерывна и граница состоит из регулярных точек, то в силу предыдущей леммы определенная в теореме 2.12 гармоническая функция является решением соответствующей задачи Дирихле. Обратно, пусть задача Дирихле разрешима для всех непрерывных граничных значений и пусть произвольная точка границы Тогда гармоническая функция, являющаяся решением задачи Дирихле в с непрерывной граничной функцией будет, очевидно, барьером в точке ?. Следовательно, точка является регулярной.

Остается неисследованным важный вопрос: у каких областей все граничные точки регулярны? Примечательно, что общие достаточные условия могут быть даны в терминах локальных геометрических свойств границы. Мы укажем ниже некоторые из таких условий.

При рассмотрим ограниченную область . Пусть ее граничная точка. Пусть в - полярные координаты на плоскости с началом координат в точке Предположим, что существует такая окрестность Сточки что в ней выделяется однозначная ветвь функции в, определенная в или на компоненте содержащей точку на своей границе. Легко видеть, что функция

является (слабым) локальным барьером в точке следовательно, точка является регулярной точкой. В частности, регулярная точка границы, если она является концевой точкой простой дуги, лежащей вне 12. Таким образом, задача Дирихле на плоскости всегда разрешима для непрерывных граничных значений в (ограниченной) области, всех граничных точек которой можно извне коснуться концом простой душ. Более общо, тот же барьер показьюает, что краевая задача разрешима, если любая компонента дополнения области содержит более одной точки. Примерами таких областей являются области, ограниченные конечным числом простых замкнутых кривых. Другой пример — единичный круг с разрезом вдоль некоторой дуги; в этом случае граничные значения могут быть заданы на обоих берегах разреза.

Для больших размерностей ситуация существенно отлична от рассмотренной, и задача Дирихле может быть неразрешимой в столь общем случае. В примере, приведенном Лебегом, построена замкнутая поверхность в пространстве трех измерений, имеющая достаточно острый шип, направленный внутрь области: острие этого шипа является нерегулярной точкой границы области, ограниченной этой поверхностью (см., например, [140]).

Простым достаточным условием разрешимости в ограниченной области 12 является условие внешней сферы:

для каждой точки существует шар удовлетворяющий условию

Если это условие выполнено, то функция определенная равенствами для

является барьером в точке В частности, у области с границей класса регулярными являются все граничные точки (см. задачу 2.11).