2.2. Принцип максимума и минимума
Теорема 2.1 позволяет получить сильный принцип максимума для субгармонических функций и сильный принцип минимума для супергармонических функций.
Теорема 2.2. Пусть
Предположим, что существует такая точка
, что и
Тогда функция и является постоянной. В частности отличная от постоянной гармоническая функция не может иметь внутренних точек максимума и минимума.
Доказательство. Пусть
Определим
По предположению
не пусто. Кроме того, так как функция и непрерывна, то множество является замкнутым в
Пусть
произвольная точка
Применим неравенство (2.6) к субгармонической в шаре
функции и
Получим
т.е.
Следовательно,
является также и открытым в
Таким образом,
Утверждение теоремы для супергармонических функций получается из доказанного утверждения заменой и на - и.
Сильные принципы максимума и минимума немедленно приводят к глобальным оценкам, а именно к следующим слабым принципам максимума и минимума.
Теорема 2.3. Пусть область
ограничена, и
Тогда
В частности, для гармонической функции и
Из теоремы 2.3 следует теорема единственности решения классической задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в ограниченной области.
Теорема 2.4. Пусть функции
удовлетворяют равенствам
Доказательство. Обозначим
через
Тогда
на
. А в силу теоремы
на
Отметим также, что из теоремы 2,3 вытекает следующее утверждение: если функции и и
гармоническая и субгармоническая соответственно, совпадают на границе
то
Отсюда и название субгармоническая функция,
Соответствующее замечание справедливо и для супергармонических функций. Далее в этой главе это свойство субгармонических и супергармонических функций класса
берется за основу при распространении понятий
и супергармоничности на более широкий класс функций.
Другой метод доказательства теорем 2,2, 2.3 и 2,4 приводится в следующей главе, в которой устанавливаются принципы максимума для общих эллиптических уравнений (см. также задачу 2.1).