2.2. Принцип максимума и минимума

Теорема 2.1 позволяет получить сильный принцип максимума для субгармонических функций и сильный принцип минимума для супергармонических функций.

Теорема 2.2. Пусть Предположим, что существует такая точка , что и Тогда функция и является постоянной. В частности отличная от постоянной гармоническая функция не может иметь внутренних точек максимума и минимума.

Доказательство. Пусть Определим По предположению не пусто. Кроме того, так как функция и непрерывна, то множество является замкнутым в Пусть произвольная точка Применим неравенство (2.6) к субгармонической в шаре функции и Получим

т.е. Следовательно, является также и открытым в Таким образом,

Утверждение теоремы для супергармонических функций получается из доказанного утверждения заменой и на - и.

Сильные принципы максимума и минимума немедленно приводят к глобальным оценкам, а именно к следующим слабым принципам максимума и минимума.

Теорема 2.3. Пусть область ограничена, и Тогда

В частности, для гармонической функции и

Из теоремы 2.3 следует теорема единственности решения классической задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в ограниченной области.

Теорема 2.4. Пусть функции удовлетворяют равенствам

Доказательство. Обозначим через Тогда на . А в силу теоремы на

Отметим также, что из теоремы 2,3 вытекает следующее утверждение: если функции и и гармоническая и субгармоническая соответственно, совпадают на границе то Отсюда и название субгармоническая функция,

Соответствующее замечание справедливо и для супергармонических функций. Далее в этой главе это свойство субгармонических и супергармонических функций класса берется за основу при распространении понятий и супергармоничности на более широкий класс функций.

Другой метод доказательства теорем 2,2, 2.3 и 2,4 приводится в следующей главе, в которой устанавливаются принципы максимума для общих эллиптических уравнений (см. также задачу 2.1).