3.6. Операторы в дивергентной форме

Мы завершим эту главу кратким обзором результатов для операторов в дивергентной форме. Во многих ситуациях их рассматривать более естественно, чем операторы вида (3.1). Простейшие операторы дивергентной формы имеют вид

Далее нужно будет рассматривать и более общие операторы, у которых дивергентную форму имеет главная часть. Оператор назьюается эллиптическим в если матрица его старших коэффициентов положительна при всех

Очевидно, что результаты о принципе максимума применимы также и к оператору (3.28), если коэффициенты достаточно гладкие. Однако если это не так или, как это бьюает в нелинейных задачах, нежелательно делать предположения о гладкости коэффициентов (типа предположения ограниченности их производных), то существенно алгебраические методы предыдущей части этой главы неприменимы и должны быть заменены на интегральные методы, более естественные для оператора имеющего дивергентную структуру.

Равенство (неравенство или которому удовлетворяет решение (субрешение или суперрешение), может быть определено для более широкого класса коэффициентов функций нежели те, которые формально допускаются в (3.28). Так, в случае измеримых и ограниченных коэффициентов будем говорить, что функция и удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению (неравенству в области , если

для всех неотрицательных функций Если то в силу теоремы о дивергенции это определение, как легко видеть, эквивалентно уравнению (неравенству или ) в обычном смысле. В дальнейших главах обобщенные решения будут определены как функции из более широких и более подходящих функциональных пространств.

Слабый принцип максимума является непосредственным следствием (3.29). Действительно, пусть функция и удовлетворяет соотношению

и пусть, вопреки доказываемому утверждению, выполняется неравенство Тогда существуют постоянная и подобласть такие, что на Соотношение (3.30) остается справедливым, если функцию и заменить на функцию и взять равной и равной нулю в остальных точках (Так определенная функция вообще говоря, не принадлежит но соотношение (3.30) с такой функцией у справедливо, в чем можно убедиться, аппроксимируя функциями из Тогда

и, в силу положительности матрицы как на то получаем равенство что противоречит определению и. Это противоречие доказывает слабый принцип максимума.

Сильный и более общий принципы максимума для операторов дивергентного вида будут установлены в дальнейших главах. Дополнительно к уже отмеченным различиям в методах изучения этих двух классов операторов отметим, что и результаты, касающиеся принципа максимума, имеют различный вид для операторов (3.1) и (3.28), коль скоро накладываются слабые условия на гладкость коэффициентов. Например, утверждение леммы 3.4 для равномерно эллиптического оператора дивергентного вида (3.28) неверно, даже если все коэффициенты оператора имеют произвольную гладкость внутри рассматриваемой области и непрерывны вплоть до ее границы (см. задачу 3.9).

Примечания

Лемма о граничной точке (лемма 3.4) доказана в этой главе методом Хопфа [328]; независимое доказательство, отличающееся только выбором функции сравнений, было дано О.А. Олейник [226]. Результат леммы остается справедливым при тех же самых предположениях о коэффициентах, если граница имеет нормаль, непрерывную по Дини [114]. Дальнейшее обобщение на класс областей, содержащий липшицевы области, приводит к доказательству единственности решения задачи Неймана для таких областей [212]. В общем случае для сильно и равномерно эллиптических уравнений дивергентного вида лемма 3.4 неверна, даже если

коэффициенты непрерывны в граничной точке (см. задачу 3.9), однако утверждение леммы справедливо, если коэффициенты непрерывны по Гёльдеру в некоторой окрестности (Финн - Гилбарг [307]).

Результаты, аналогичные результату леммы 3.4, для областей, удовлетворяющих вместо условия внутренней сферы условию внутреннего конуса, были получены Оддсоном [225] и Миллером [190], [192]. Ими установлены оценка (3.11) и более точные результаты, в которых величина заменяется на причем показатель зависит только от раствора конуса и от постоянной эллиптичности (здесь вектор лежит внутри фиксированного подконуса конуса с вершиной существование которого предположено). Эти по существу неулучшаемые результаты основаны на изучении экстремальных эллиптических операторов Пуччи [243].

Принцип максимума в такой же общности, как и в теореме 3.5, был впервые доказан Э. Хопфом [324]. О первых результатах при более сильных предположениях см. ссылки в [241, с. 156], где, кроме того, рассмотрены и различные обобщения принципа максимума. Некоторые из этих результатов будут рассмотрены в гл. 8 и 9.

Раздел 3.4 основан на идеях Брандта [41], [42], который показал, что многие факты линейной теории классических решений эллиптических и параболических уравнений второго порядка, включая и оценки гл. 4 и 6, могут быть получены методом сравнения, использующим принцип максимума. Как и в разделе 3.4, этот метод требует построения соответствующей (в общем случае — не очевидной) функции сравнения, которая используется для оценок разностных отношений, а затем и производных.

Неравенство Харнака (теорема 3.10) и некоторые его обобщения доказал Серрин [261]. Это доказательство было, по-видимому, первым доказательством неравенства Харнака, основанном на принципе максимума. Очень похожий результат совершенно другими (весьма тонкими) методами получили Берси Ниренберг [31].

Теорема Лиувилля (следствие 3.12) связана с геометрической теоремой Бернштейна о поверхностях неположительной кривизны (см. [327]), которая утверждает, что целое решение и любого эллиптического уравнения удовлетворяющее условию при должно быть постоянно. Примечательным при этом является тот факт, что от уравнения требуется только поточечная эллиптичность. При столь общем условии утверждение следствия 3.12, как показывает контрпример, не имеет места. Результат Бернштейна также основан на принципе максимума, однако рассуждения качественно другие и носят геометрический характер.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)