Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.6. Операторы в дивергентной формеМы завершим эту главу кратким обзором результатов для операторов в дивергентной форме. Во многих ситуациях их рассматривать более естественно, чем операторы вида (3.1). Простейшие операторы дивергентной формы имеют вид
Далее нужно будет рассматривать и более общие операторы, у которых дивергентную форму имеет главная часть. Оператор Очевидно, что результаты о принципе максимума применимы также и к оператору (3.28), если коэффициенты достаточно гладкие. Однако если это не так или, как это бьюает в нелинейных задачах, нежелательно делать предположения о гладкости коэффициентов (типа предположения ограниченности их производных), то существенно алгебраические методы предыдущей части этой главы неприменимы и должны быть заменены на интегральные методы, более естественные для оператора Равенство
для всех неотрицательных функций Слабый принцип максимума является непосредственным следствием (3.29). Действительно, пусть функция и удовлетворяет соотношению
и пусть, вопреки доказываемому утверждению, выполняется неравенство
и, в силу положительности матрицы Сильный и более общий принципы максимума для операторов дивергентного вида будут установлены в дальнейших главах. Дополнительно к уже отмеченным различиям в методах изучения этих двух классов операторов отметим, что и результаты, касающиеся принципа максимума, имеют различный вид для операторов (3.1) и (3.28), коль скоро накладываются слабые условия на гладкость коэффициентов. Например, утверждение леммы 3.4 для равномерно эллиптического оператора дивергентного вида (3.28) неверно, даже если все коэффициенты оператора имеют произвольную гладкость внутри рассматриваемой области и непрерывны вплоть до ее границы (см. задачу 3.9). ПримечанияЛемма о граничной точке (лемма 3.4) доказана в этой главе методом коэффициенты непрерывны в граничной точке (см. задачу 3.9), однако утверждение леммы справедливо, если коэффициенты непрерывны по Гёльдеру в некоторой окрестности (Финн - Гилбарг [307]). Результаты, аналогичные результату леммы 3.4, для областей, удовлетворяющих вместо условия внутренней сферы условию внутреннего конуса, были получены Оддсоном [225] и Миллером [190], [192]. Ими установлены оценка (3.11) и более точные результаты, в которых величина Принцип максимума в такой же общности, как и в теореме 3.5, был впервые доказан Э. Хопфом [324]. О первых результатах при более сильных предположениях см. ссылки в [241, с. 156], где, кроме того, рассмотрены и различные обобщения принципа максимума. Некоторые из этих результатов будут рассмотрены в гл. 8 и 9. Раздел 3.4 основан на идеях Брандта [41], [42], который показал, что многие факты линейной теории классических решений эллиптических и параболических уравнений второго порядка, включая и оценки гл. 4 и 6, могут быть получены методом сравнения, использующим принцип максимума. Как и в разделе 3.4, этот метод требует построения соответствующей (в общем случае — не очевидной) функции сравнения, которая используется для оценок разностных отношений, а затем и производных. Неравенство Харнака (теорема 3.10) и некоторые его обобщения доказал Серрин [261]. Это доказательство было, по-видимому, первым доказательством неравенства Харнака, основанном на принципе максимума. Очень похожий результат совершенно другими (весьма тонкими) методами получили Берси Ниренберг [31]. Теорема Лиувилля (следствие 3.12) связана с геометрической теоремой Бернштейна о поверхностях неположительной кривизны (см. [327]), которая утверждает, что целое решение и любого эллиптического уравнения Задачи(см. скан) (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|