16.8. Дополнение: эллиптические параметрические функционалы

Пусть ограниченная область в Рассмотрим функционал определенный на отображениях класса равенством

заданная непрерывная функция аргументов (Здесь, как обычно, ) Для Выясним, какие функционалы I остаются инвариантными при диффеоморфизмах пространства сохраняющих ориентацию. Это значит, что если диффеоморфизм на себя с положительным якобианом, то выполняется равенство

где Несложное вычисление (см. [208, с. 349]) показывает, что это равенство будет иметь место для всех рассматриваемых диффеоморфизмов и областей тогда и только тогда, когда на существует веществ еннозначная функция такая, что

где

и

Заметим, в частности, что из (16.114) следует, что не зависит от х, т. е. для всех Если взять где — отображение класса то определяется формулой

Известно, что если отображение взаимно однозначно и ранг матрицы Якоби равен 2 для всехх то последнее тождество можно записать в виде где — единичная нормаль к поверхности коэффициент растяжения площади преобразования Таким образом, предположив, что поверхность ориентирована при помощи нормали для которой мы можем записать

Следовательно, функционал определен внутренним образом самой ориентированной поверхностью а не конкретным отображением , представляющим поверхность . В итоге мы приходим к рассмотрению функционала определенного на гладкой ориентированной поверхности пространства имеющей конечную меру, равенством

Этот функционал удовлетворяет соотношению если взаимно однозначное отображение класса такое, что ранг матрицы равен 2 в каящой точке

Функционал вида (16.116), в котором функция удовлетворяет (16.115), будем называть параметрическим функционалом. Функционал называется эллиптическим, если функция принадлежит на и если выполнено условие выпуклости

для всех Заметим, что с точностью до скалярного множителя условие (16.117) вместе с условием однородности (16.115) является условием сильной выпуклости функции.

Рассмотрим непараметрическую поверхность заданную соотношением

где . В качестве возьмем единичную нормаль вида Получим

Здесь мы воспользовались равенством Выражение в правой части можно рассматривать как непараметрический функционал, определенный на функциях Уравнение Эйлера-Лагранжа для этого цепараметрического функционала имеет вид

Используя цепное правило и условие неоднородности (16.115), несложно убедиться, что полученное уравнение можно записать в виде

где

и . С помощью (16.115), (16.17) нетрудно проверить, что имеют место (16.64) и (16.65) с постоянными у и зависящими от Таким образом, непараметрическое уравнение Эйлера-Лагранжа для эллиптического параметрического функционала является уравнением типа уравнений со средней кривизной.

Покажем, наконец, как функции введенные в разделе 16.7, естественным образом появляются в проводимых рассмотрениях. Действительно, несложно проверить, что если функции определены формулами (16.118), (16.119), то определяются формулами

кроме того, если , то условие (16.103) выполняется автоматически с постоянными зависящими от

Примечания

Внутренняя оценка градиента (теорема 16.5) для уравнения минимальных поверхностей в случае двух переменных была получена Финном [304] и в общем случае - Бомбьери, Де Джорджи и Миранда [36]. Внутренняя оценка градиента решений уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (16.1) была впервые доказана Ладыженской и. Уральцевой [149]. Методы обеих работ [36] и [149] использовали изопериметрические неравенства Федерера и Флеминга (см. [301]) и получающиеся неравенства Соболева (см. [196] и [149]). Наш вывод теоремы 16.5, вместе с предшествующим материалом раздела 16.1 является упрощенным вариантом доказательства, данного Михаэлем и Саймоном [203] и Трудингером [287], [289]. Важная идея использования методов, аналогичных

методам классической теории потенциала, была использована Михаэлем (не опубликовано) для упрощения получения неравенства Соболева работы [196] и затем использована в [203] и в [287], [289]. Формула интегрирования по частям (лемма 16.1) доказана Морри [206]. Неравенство для средних значений (лемма 16.2) доказано Михаэлем и Саймоном [203], а его обобщение — лемма 16.3 — по существу получено в [289]. Обобщение на случай поверхностей оценки Морри (лемма 16.4) дано в [253]. Процедура, описанная в резделе 16.2, с помощью которой мы получили внутреннюю оценку градиента из неравенства потенциального типа, лемма 16.3, взята из [287], [289].

Теоремы существования 16.9 и 16.11 для случаев гладких граничных данных были доказаны Серрином [264]. Теорема 16.10, по существу, появилась у Джиаквинта [83]. Отметим, что результаты раздела 16.3 могут быть получены с помощью вариационных методов, описанных в разделе 10.5. В последние годы соответствующие вариационные задачи были изучены в пространствах функций ограниченной вариации (см., например, [39], [61—64], [83], [84], [200]). Другой метод для уравнений поверхностей с заданной средней кривизной описан в [281].

Изучение уравнений типа уравнений со средней кривизной, проведенное в разделе 16.5, следует работе [253], [255]. Пионерские работы для двумерных уравнений такого типа принадлежат Финну [303], [304], который рассмотрел случай Финн назвал эти уравнения уравнениями типа уравнения минимальных поверхностей и ввел структурные условия для матрицы коэффициентов, отличные от условий (16.64), но эквивалентные им. Оценки градиента впервые были получены в [303], [304]. Дженкинсом и Серрином [81] были получены усовершенствования (включая неравенство, похожее на неравенство Харнака теоремы 16.21) для более специализированного класса уравнений, нежели класс уравнений, рассмотренный в [304] (по существу — для уравнений вида (16.63) с такими же, как в (16.118), коэффициентами и с некоторой функцией удовлетворяющей условию Неравенство (16.112) является, по-видимому, новым. Оценка кривизн, аналогичная оценке из теоремы 16.20, была сначала получена для уравнения минимальных поверхностей Хайнцем [316] и в более сильном виде — Хопфом [327] и Оссерманом [230]. Дженкинс [80] и Дженкинс, Серрин [81] получили аналогичные оценки кривизн для уравнения вида (16.63) в случае, когда и коэффициенты имеют вид (16.118) с некоторой функцией удовлетворяющей условию Оценки в [327], [230], [80] и [81] были по существу получены в более сильном виде

Методы разделов могут быть для специального класса уравнений, рассмотренных в [80] и [81], модернизированы так, что будет получено неравенство вида (16.120). Это показано в [253]. При несложно показать, что оценка, аналогичная (16.120), в общем случае не имеет места. Из результатов об оценке кривизн для случая предшествующих результатам, изложенным здесь и в [253], авторам известны лишь результаты Спрука [269] для уравнения поверхностей постоянной

средней кривизны. Следует упомянуть также о результатах для специальных классов параметрических поверхностей, полученных в [230], [80], [81] и [255].

Общий результат типа теоремы Бернштейна (следствие 16.19) был получен Оссерманом ([231], с. 137); этот результат хорошо известен (и имеется много его доказательств) для уравнения минимальных поверхностей (см., например, [219]). Для класса уравнений, введенных в [80], Дженкинс доказал соответствующий результат, устремляя в неравенстве (16.120). Вопрос о справедливости теоремы Бернштейна для уравнения минимальных поверхностей в при стимулировал изучение минимальных поверхностей со многими переменными. Симонсом [259] доказана справедливость теоремы шнтейна в случае При этом использовались некоторые идеи Флеминга [312] и Де Джорджи [77]. Бомбьери, Де Джорджи и Джусти [36] показали, что теорема Бернштейна не имеет места при Оценки кривизн, аналогичные оценкам теоремы 16.20, были получены для уравнения минимальных поверхностей в случае Саймоном [254]. Из них при следует и теорема Бернштейна.

Для более полного ознакомления с теорией двумерных минимальных поверхностей читатель отсылается к книге [219]. О недавних результатах теории многомерных минимальных поверхностей см. [256], [257], [90].

Задачи

(см. скан)

(см. скан)