Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 16.8. Дополнение: эллиптические параметрические функционалыПусть
где
где
и
Заметим, в частности, что из (16.114) следует, что
Известно, что если отображение
Следовательно, функционал
Этот функционал удовлетворяет соотношению Функционал вида (16.116), в котором функция
для всех Рассмотрим непараметрическую поверхность
где
Здесь мы воспользовались равенством
Используя цепное правило и условие неоднородности (16.115), несложно убедиться, что полученное уравнение можно записать в виде
где
и Покажем, наконец, как функции
кроме того, если ПримечанияВнутренняя оценка градиента (теорема 16.5) для уравнения минимальных поверхностей в случае двух переменных была получена Финном [304] и в общем случае - Бомбьери, Де Джорджи и Миранда [36]. Внутренняя оценка градиента решений уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (16.1) была впервые доказана Ладыженской и. Уральцевой [149]. Методы обеих работ [36] и [149] использовали изопериметрические неравенства Федерера и Флеминга (см. [301]) и получающиеся неравенства Соболева (см. [196] и [149]). Наш вывод теоремы 16.5, вместе с предшествующим материалом раздела 16.1 является упрощенным вариантом доказательства, данного Михаэлем и Саймоном [203] и Трудингером [287], [289]. Важная идея использования методов, аналогичных методам классической теории потенциала, была использована Михаэлем (не опубликовано) для упрощения получения неравенства Соболева работы [196] и затем использована в [203] и в [287], [289]. Формула интегрирования по частям (лемма 16.1) доказана Морри [206]. Неравенство для средних значений (лемма 16.2) доказано Михаэлем и Саймоном [203], а его обобщение — лемма 16.3 — по существу получено в [289]. Обобщение на случай поверхностей оценки Морри (лемма 16.4) дано в [253]. Процедура, описанная в резделе 16.2, с помощью которой мы получили внутреннюю оценку градиента из неравенства потенциального типа, лемма 16.3, взята из [287], [289]. Теоремы существования 16.9 и 16.11 для случаев гладких граничных данных были доказаны Серрином [264]. Теорема 16.10, по существу, появилась у Джиаквинта [83]. Отметим, что результаты раздела 16.3 могут быть получены с помощью вариационных методов, описанных в разделе 10.5. В последние годы соответствующие вариационные задачи были изучены в пространствах функций ограниченной вариации (см., например, [39], [61—64], [83], [84], [200]). Другой метод для уравнений поверхностей с заданной средней кривизной описан в [281]. Изучение уравнений типа уравнений со средней кривизной, проведенное в разделе 16.5, следует работе [253], [255]. Пионерские работы для двумерных уравнений такого типа принадлежат Финну [303], [304], который рассмотрел случай
Методы разделов средней кривизны. Следует упомянуть также о результатах для специальных классов параметрических поверхностей, полученных в [230], [80], [81] и [255]. Общий результат типа теоремы Бернштейна (следствие 16.19) был получен Оссерманом ([231], с. 137); этот результат хорошо известен (и имеется много его доказательств) для уравнения минимальных поверхностей (см., например, [219]). Для класса уравнений, введенных в [80], Дженкинс доказал соответствующий результат, устремляя Для более полного ознакомления с теорией двумерных минимальных поверхностей читатель отсылается к книге [219]. О недавних результатах теории многомерных минимальных поверхностей см. [256], [257], [90]. Задачи(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|