Главная > Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

16.8. Дополнение: эллиптические параметрические функционалы

Пусть ограниченная область в Рассмотрим функционал определенный на отображениях класса равенством

заданная непрерывная функция аргументов (Здесь, как обычно, ) Для Выясним, какие функционалы I остаются инвариантными при диффеоморфизмах пространства сохраняющих ориентацию. Это значит, что если диффеоморфизм на себя с положительным якобианом, то выполняется равенство

где Несложное вычисление (см. [208, с. 349]) показывает, что это равенство будет иметь место для всех рассматриваемых диффеоморфизмов и областей тогда и только тогда, когда на существует веществ еннозначная функция такая, что

где

и

Заметим, в частности, что из (16.114) следует, что не зависит от х, т. е. для всех Если взять где — отображение класса то определяется формулой

Известно, что если отображение взаимно однозначно и ранг матрицы Якоби равен 2 для всехх то последнее тождество можно записать в виде где — единичная нормаль к поверхности коэффициент растяжения площади преобразования Таким образом, предположив, что поверхность ориентирована при помощи нормали для которой мы можем записать

Следовательно, функционал определен внутренним образом самой ориентированной поверхностью а не конкретным отображением , представляющим поверхность . В итоге мы приходим к рассмотрению функционала определенного на гладкой ориентированной поверхности пространства имеющей конечную меру, равенством

Этот функционал удовлетворяет соотношению если взаимно однозначное отображение класса такое, что ранг матрицы равен 2 в каящой точке

Функционал вида (16.116), в котором функция удовлетворяет (16.115), будем называть параметрическим функционалом. Функционал называется эллиптическим, если функция принадлежит на и если выполнено условие выпуклости

для всех Заметим, что с точностью до скалярного множителя условие (16.117) вместе с условием однородности (16.115) является условием сильной выпуклости функции.

Рассмотрим непараметрическую поверхность заданную соотношением

где . В качестве возьмем единичную нормаль вида Получим

Здесь мы воспользовались равенством Выражение в правой части можно рассматривать как непараметрический функционал, определенный на функциях Уравнение Эйлера-Лагранжа для этого цепараметрического функционала имеет вид

Используя цепное правило и условие неоднородности (16.115), несложно убедиться, что полученное уравнение можно записать в виде

где

и . С помощью (16.115), (16.17) нетрудно проверить, что имеют место (16.64) и (16.65) с постоянными у и зависящими от Таким образом, непараметрическое уравнение Эйлера-Лагранжа для эллиптического параметрического функционала является уравнением типа уравнений со средней кривизной.

Покажем, наконец, как функции введенные в разделе 16.7, естественным образом появляются в проводимых рассмотрениях. Действительно, несложно проверить, что если функции определены формулами (16.118), (16.119), то определяются формулами

кроме того, если , то условие (16.103) выполняется автоматически с постоянными зависящими от

Примечания

Внутренняя оценка градиента (теорема 16.5) для уравнения минимальных поверхностей в случае двух переменных была получена Финном [304] и в общем случае - Бомбьери, Де Джорджи и Миранда [36]. Внутренняя оценка градиента решений уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (16.1) была впервые доказана Ладыженской и. Уральцевой [149]. Методы обеих работ [36] и [149] использовали изопериметрические неравенства Федерера и Флеминга (см. [301]) и получающиеся неравенства Соболева (см. [196] и [149]). Наш вывод теоремы 16.5, вместе с предшествующим материалом раздела 16.1 является упрощенным вариантом доказательства, данного Михаэлем и Саймоном [203] и Трудингером [287], [289]. Важная идея использования методов, аналогичных

методам классической теории потенциала, была использована Михаэлем (не опубликовано) для упрощения получения неравенства Соболева работы [196] и затем использована в [203] и в [287], [289]. Формула интегрирования по частям (лемма 16.1) доказана Морри [206]. Неравенство для средних значений (лемма 16.2) доказано Михаэлем и Саймоном [203], а его обобщение — лемма 16.3 — по существу получено в [289]. Обобщение на случай поверхностей оценки Морри (лемма 16.4) дано в [253]. Процедура, описанная в резделе 16.2, с помощью которой мы получили внутреннюю оценку градиента из неравенства потенциального типа, лемма 16.3, взята из [287], [289].

Теоремы существования 16.9 и 16.11 для случаев гладких граничных данных были доказаны Серрином [264]. Теорема 16.10, по существу, появилась у Джиаквинта [83]. Отметим, что результаты раздела 16.3 могут быть получены с помощью вариационных методов, описанных в разделе 10.5. В последние годы соответствующие вариационные задачи были изучены в пространствах функций ограниченной вариации (см., например, [39], [61—64], [83], [84], [200]). Другой метод для уравнений поверхностей с заданной средней кривизной описан в [281].

Изучение уравнений типа уравнений со средней кривизной, проведенное в разделе 16.5, следует работе [253], [255]. Пионерские работы для двумерных уравнений такого типа принадлежат Финну [303], [304], который рассмотрел случай Финн назвал эти уравнения уравнениями типа уравнения минимальных поверхностей и ввел структурные условия для матрицы коэффициентов, отличные от условий (16.64), но эквивалентные им. Оценки градиента впервые были получены в [303], [304]. Дженкинсом и Серрином [81] были получены усовершенствования (включая неравенство, похожее на неравенство Харнака теоремы 16.21) для более специализированного класса уравнений, нежели класс уравнений, рассмотренный в [304] (по существу — для уравнений вида (16.63) с такими же, как в (16.118), коэффициентами и с некоторой функцией удовлетворяющей условию Неравенство (16.112) является, по-видимому, новым. Оценка кривизн, аналогичная оценке из теоремы 16.20, была сначала получена для уравнения минимальных поверхностей Хайнцем [316] и в более сильном виде — Хопфом [327] и Оссерманом [230]. Дженкинс [80] и Дженкинс, Серрин [81] получили аналогичные оценки кривизн для уравнения вида (16.63) в случае, когда и коэффициенты имеют вид (16.118) с некоторой функцией удовлетворяющей условию Оценки в [327], [230], [80] и [81] были по существу получены в более сильном виде

Методы разделов могут быть для специального класса уравнений, рассмотренных в [80] и [81], модернизированы так, что будет получено неравенство вида (16.120). Это показано в [253]. При несложно показать, что оценка, аналогичная (16.120), в общем случае не имеет места. Из результатов об оценке кривизн для случая предшествующих результатам, изложенным здесь и в [253], авторам известны лишь результаты Спрука [269] для уравнения поверхностей постоянной

средней кривизны. Следует упомянуть также о результатах для специальных классов параметрических поверхностей, полученных в [230], [80], [81] и [255].

Общий результат типа теоремы Бернштейна (следствие 16.19) был получен Оссерманом ([231], с. 137); этот результат хорошо известен (и имеется много его доказательств) для уравнения минимальных поверхностей (см., например, [219]). Для класса уравнений, введенных в [80], Дженкинс доказал соответствующий результат, устремляя в неравенстве (16.120). Вопрос о справедливости теоремы Бернштейна для уравнения минимальных поверхностей в при стимулировал изучение минимальных поверхностей со многими переменными. Симонсом [259] доказана справедливость теоремы шнтейна в случае При этом использовались некоторые идеи Флеминга [312] и Де Джорджи [77]. Бомбьери, Де Джорджи и Джусти [36] показали, что теорема Бернштейна не имеет места при Оценки кривизн, аналогичные оценкам теоремы 16.20, были получены для уравнения минимальных поверхностей в случае Саймоном [254]. Из них при следует и теорема Бернштейна.

Для более полного ознакомления с теорией двумерных минимальных поверхностей читатель отсылается к книге [219]. О недавних результатах теории многомерных минимальных поверхностей см. [256], [257], [90].

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru