функционала
на
следовательно, по теореме представления Рисса существует элемент
удовлетворяющий условию
при для всех
, Следовательно, последовательность
сходится слабо к
Чтобы обобщить результат на произвольное гильбертово пространство
обозначим через
замыкание линейной оболочки последовательности
Тогда в силу наших предыдущих рассуждений существуют подпоследовательность
и элемент
удовлетворяющие условию
для всех
По теореме 5.5 для произвольного
, имеем равенство
где
Следовательно,
для всех
, поэтому
слабо сходится к х, что и требовалось доказать.
Первая часть доказательства теоремы 5.12 автоматически переносится на рефлексивное банахово пространство с сепарабельным сопряженным пространством (см. задачу 5.4). Результат справедлив также для любых рефлексивных банаховых пространств.
Примечания
Материал этой главы является стандартным и может быть найден в книгах по функциональному анализу, таких как [75], [359], [107].
Задачи
(см. скан)