5.10. Слабая компактность

Пусть V - нормированное линейное пространство. Последовательность называется слабо сходящейся к элементу если для всех принадлежащих сопряженному пространству . В силу теоремы представления Рисса (теорема 5.7) последовательность элементов гильбертова пространства слабо сходится к если для всех , Следующий результат часто используется при изучении дифференциальных уравнений методом гильбертовых пространств.

Теорема 5.12. Любая ограниченная последовательность элементов гильбертова пространства содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть сначала пространство сепарабельно, и предположим, что последовательность удовлетворяет условию Пусть плотное подмножество в . С помощью канторовского диагонального процесса мы получаем подпоследовательность нашей исходной последовательности, удовлетворяющую условию при Отображение определенное равенством , можно расширить до линейного ограниченного

функционала на следовательно, по теореме представления Рисса существует элемент удовлетворяющий условию при для всех , Следовательно, последовательность сходится слабо к

Чтобы обобщить результат на произвольное гильбертово пространство обозначим через замыкание линейной оболочки последовательности Тогда в силу наших предыдущих рассуждений существуют подпоследовательность и элемент удовлетворяющие условию для всех По теореме 5.5 для произвольного , имеем равенство где Следовательно, для всех , поэтому слабо сходится к х, что и требовалось доказать.

Первая часть доказательства теоремы 5.12 автоматически переносится на рефлексивное банахово пространство с сепарабельным сопряженным пространством (см. задачу 5.4). Результат справедлив также для любых рефлексивных банаховых пространств.

Примечания

Материал этой главы является стандартным и может быть найден в книгах по функциональному анализу, таких как [75], [359], [107].

Задачи

(см. скан)