9.4. Неравенство Кальдерона — Зигмунда

В этом разделе мы доказываем основные оценки в для решений уравнения Пуассона, продолжая изучение ньютонова потенциала, начатого в гл. 4. Пусть ограниченная область в функция, принадлежащая с некоторым Напомним, что ньютонов потенциал функции есть функция определяемая сверткой

где фундаментальное решение уравнения Лапласа (см. (4.1)). Следующий результат, который является специальным случаем неравенства Кальдерона - Зигмунда, является аналогом в оценки Гёльдера из леммы 4.4.

Теорема 9.9. Пусть пусть ньютонов потенциал Тогда почти всюду в и справедливо неравенство

с постоянной С, зависящей только от Более того, при справедливо равенство

Доказательство, (i) Рассмотрим сначала случай Если то и по лемме 4.2 справедливо равенство Поэтому для произвольного шара содержащего носитель функции имеем

Дважды применив первую формулу Грина (2.10), получим

Так как

равномерно на то из полученного равенства следует равенство (9.28).

Для доказательства равенства (9.28) для произвольной функции заметим, что в силу леммы 7.12 при отображение является ограниченным отображением в себя. Во всей полноте утверждение теоремы 9.8 при получается с помощью аппроксимации. Действительно, взяв последовательность функций сходящуюся к получим последовательность ньютоновых потенциалов сходящуюся к

Определим для фиксированных линейный оператор равенством По лемме 9.7 из (9.28) получаем для всех и всех неравенства

Докажем дополнительно, что для всех и всех

Это неравенство позволяет применить интерполяционную теорему Марцинкевича.

Для доказательства оценки (9.30) продолжим функцию нулем вне зафиксируем и такой куб что

Куб разобьем так, как это было описано в разделе 9.2, и выделим последовательность параллельных подкубов таких, что

и почти всюду на

Функция теперь разбивается на "хорошую" часть — функцию определенную формулой

и на "плохую" часть - функцию Ясно, что почти всюду, для

Так как отображение линейно то

(iii) Оценка В силу (9.29)

(iv) Оценка Введя

имеем

Фиксируем некоторое и возьмем сходящуюся к в последовательность функций , удовлетворяющих условию

Тогда для имеем

где центр Обозначая через диаметр куба получаем (оценивая аналогично тому, как оценивался интеграл в доказательстве леммы 4.4)

Полагая и интегрируя по имеем

Устремляя обозначая и суммируя по получаем неравенство 1

откуда, по лемме 9.7,

Однако в силу (9.31)

Таким образом, неравенство (9.30) доказано.

(v) Идя завершения доказательства теоремы 9.9 заметим, что в силу (9.29) и (9.30) выполнены условия интерполяционной теоремы Марцинкевича (теорема 9.8) с Поэтому для всех и всех

На случай неравенство (9.32) переносится в силу двойственности. Действительно, то

и в силу (9.32) для

Таким образом, (9.32) выполняется при всех Для функций из утверждение получается, как и в случае с помощью аппроксимации.

Отметим, что оператор может быть ограниченным на пространстве даже для неограниченной области . В этом случае утверждение теоремы 9.9 справедливо при . О других методах доказательства неравенства (9.27) см. примечание к этой главе.

Из теоремы 9.9 непосредственно следуют оценки в решений уравнения Пуассона.

Следствие 9.10. Пусть область в Тогда

с постоянной При справедливо равенство