10.5. Принципы максимума для операторов в дивергентной форме

Если оператор имеет дивергентную форму, то можно установить принципы максимума при других условиях, отличных от условий теорем 10.3 и 10.4. Будем считать, что функции в (10.5) удовлетворяют следующим структурным условиям:

при всех и некотором

и

здесь а и неотрицательные постоянные. Первое неравенство в (10.23) можно рассматривать как условие слабой эллиптичности (см. задачу 10.3). Развиваемый далее метод аналогичен методу получения глобальных оценок слабых решений линейного эллиптического уравнения, изложенному в гл. 8.

Лемма 10.8. Пусть функция и удовлетворяет в неравенству а оператор удовлетворяет структурным условиям (10.23). Тогда справедливо неравенство

с постоянной

Доказательство. Предположим сначала, что функция и что на так что Доказательство аналогично доказательству теоремы 8.15? но при этом следует учесть, что в рассматриваемом случае функция и с самого начала предполагается ограниченной и поэтому нет необходимости в качестве пробных функций брать усеченные степенные функции. Обозначив

из неравенств (1023) с помощью неравенства Юнга получаем

где Следовательно, подставляя в интегральное неравенство (10.21) функцию где и полагая получаем неравенство

с постоянной В силу неравенства Соболева (7.26) существует число такое, что

где Следовательно,

для всех Отсюда с помощью итераций, описанных в доказательстве теоремы 8.15, получается оценка в которой нет последнего слагаемого, ибо Желая освободиться от сделанного сначала предположения о функции , достаточно заменить функцию и на функцию и где и аппроксимировать область областями

Используя лемму 10.8, можно теперь получить априорные оценки для субрешений и решений уравнения следующего вида.

Теорема 10.9. Пусть функция удовлетворяет в неравенству (равенству Предположим, что оператор удовлетворяет структурным условиям (10.23) с постоянными и одна из постоянных или равно нулю. Тогда справедливо неравенство

с постоянной

Доказательство. Как и в доказательстве леммы 10.8, мы можем предположить сначала, что и что и на Мы также предположим, что Два случая, рассмотрим отдельно.

(i) Пусть Тогда, подставив функцию

в интегральное неравенство (10.21), получим неравенство

которое можно записать в виде

В силу неравенства Пуанкаре (7.44) отсюда следует неравенство с постоянной Пусть Имеем (см, доказательство леммы 10.8)

так что

Следовательно,

(ii) Пусть Доказательство в этом случае аналогично доказательству теоремы 8.16, Снова обозначим Подставив функцию

в неравенство (10.21), получаем неравенство

Отсюда, с помощью неравенства Юнга (7.5), приходим к неравенству

где из которого с помощью неравенства Пуанкаре (7.44) получаем

где Возьмем далее где и подставим в (10.21). Воспользовавшись структурными условиями (10.23), получаем

Таким образом, функция удовлетворяет неравенству причем для оператора выполняются структурные условия (10.23) с постоянными

Отсюда в силу леммы 10.8 следует, что

(см. (10.27)). Поэтому Если устремить к к нулю, то получим результат для В силу остальных условий: и и на как и при доказательстве леммы 10.8, получаем оценку (10.26) для обоих случаев,

Косвенным результатом теории существования для уравнения поверхностей с заданной средней кривизной, изложенной в гл, 16, является следующий факт: утверждение теоремы 10,9 не имеет места для случая . В следующей оценке, справедливой и для требуется, чтобы структурные постоянные были достаточно малы.

Теорема 10.10. Пусть функция и удовлетворяет в неравенству {равенству ), а оператор удовлетворяет структурным условиям (10.23), Тогда существует положительная постоянная такая, что если

то справедлива оценка

с постоянной .

Доказательство. В силу леммы 10.8 достаточно получить оценку . Как и в предыдущих доказательствах, мы сначала предположим, что и и что на Подставляя фукнцию в интегральное неравенство (1021), мы получаем с помощью (10.23) неравенство

а это в силу (7.6), в свою очередь, не превосходит

каково бы ни было Если то возьмем и воспользуемся неравенством Пуанкаре (7.44), Получим неравенство при

Следовательно, если то Отсюда следует требуемая оценка (10,29).

Заметим, что при постоянные не войдут в неравенства (10.28) и (10.29). Используя точный вид неравенства Пуанкаре (7.44)

мы можем в этом случае (при взять Записав уравнение поверхностей с заданной средней кривизной (10.7) в дивергентном виде

несложно убедиться, что оно удовлетворяет структурным условиям (10,23) с постоянными Поэтому если функция удовлетворяет неравенству

то для произвольного субрешения (решения) уравнения (1031), принадлежащего справедлива оценка

Завершим этот раздел следующим замечанием. Можно рассматривать структурные условия вида (10.23), в которых величины являются неотрицательными измеримыми функциями. В частности, в предположении, что функции принадлежат где число удовлетворяет неравенствам утверждения леммы 10.1 и теоремы 10.9 остаются справедливыми, но в неравенствах (10.24) и (10.26) числа надо заменить соответственно на а постоянные С будут дополнительно зависеть от числа Так же может быть обобщена и теорема 10,10, с заменой условия (10.28) на условие

где Для уравнения поверхностей с заданной средней кривизной справедлив более общий результат (ранее установленный в следствии (10.6) другим способом): если функция удовлетворяет неравенству

то справедлив принцип максимума (10.33) с Доказательство этого утверждения по существу такое же, как и в случае, когда величины являются постоянными (см. задачу 10.4). Отметим в заключение, что все результаты этого раздела (и их доказательства) справедливы в предположении, что функция и принадлежит пространству Соболева (а не пространству

Примечания

Первые результаты этой главы, содержащиеся в теоремах и , являются основными вариантами принципа максимума Хопфа. Контрпример, приведенный в разделе 10.3, принадлежит Мейерсу [186]. Условия принципа сравнения (теоремы 10.7), были введены Трудингером [281]. Условие обобщает более раннее условие из работы Дуглиса, Дюпона и Серрина [91]. Условие (iii) по существу введено Серрином [263]. Принцип максимума (теорема 10.9) является новым результатом, хотя техника его доказательства была ранее описана в [288]. Для ознакомления с другими принципами максимума для квазилинейных уравнений читатель отсылается к работам [263], [265].

Отметим также, что неравенство Пуанкаре в виде (10.3) является следствием изопериметрического неравенства (см., например, [301]). Теорема 10.5 и следствие 10.6 имеются у Бакельмана [22].

Задачи

(см. скан)

(см. скан)