10.5. Принципы максимума для операторов в дивергентной форме
Если оператор
имеет дивергентную форму, то можно установить принципы максимума при других условиях, отличных от условий теорем 10.3 и 10.4. Будем считать, что функции
в (10.5) удовлетворяют следующим структурным условиям:
для всех
Отсюда с помощью итераций, описанных в доказательстве теоремы 8.15, получается оценка
в которой нет последнего слагаемого, ибо
Желая освободиться от сделанного сначала предположения о функции
, достаточно заменить функцию и на функцию и
где
и аппроксимировать область
областями
Используя лемму 10.8, можно теперь получить априорные оценки для субрешений и решений уравнения
следующего вида.
Теорема 10.9. Пусть функция
удовлетворяет в
неравенству
(равенству
Предположим, что оператор
удовлетворяет структурным условиям (10.23) с постоянными
и одна из постоянных
или равно нулю. Тогда справедливо неравенство
с постоянной
Доказательство. Как и в доказательстве леммы 10.8, мы можем предположить сначала, что
и что и
на
Мы также предположим, что
Два случая,
рассмотрим отдельно.
(i) Пусть
Тогда, подставив функцию
в интегральное неравенство (10.21), получим неравенство
которое можно записать в виде
В силу неравенства Пуанкаре (7.44) отсюда следует неравенство
с постоянной
Пусть
Имеем (см, доказательство леммы 10.8)
так что
Следовательно,
(ii) Пусть
Доказательство в этом случае аналогично доказательству теоремы 8.16, Снова обозначим
Подставив функцию
в неравенство (10.21), получаем неравенство
Отсюда, с помощью неравенства Юнга (7.5), приходим к неравенству
где
из которого с помощью неравенства Пуанкаре (7.44) получаем
где
Возьмем далее
где
и подставим в (10.21). Воспользовавшись структурными условиями (10.23), получаем
Таким образом, функция
удовлетворяет неравенству
причем для оператора
выполняются структурные условия (10.23) с постоянными
Отсюда в силу леммы 10.8 следует, что
(см. (10.27)). Поэтому
Если устремить к к нулю, то получим результат для
В силу остальных условий: и
и
на
как и при доказательстве леммы 10.8, получаем оценку (10.26) для обоих случаев,
Косвенным результатом теории существования для уравнения поверхностей с заданной средней кривизной, изложенной в гл, 16, является следующий факт: утверждение теоремы 10,9 не имеет места для случая
. В следующей оценке, справедливой и для
требуется, чтобы структурные постоянные
были достаточно малы.
Теорема 10.10. Пусть функция и
удовлетворяет в
неравенству
{равенству
), а оператор
удовлетворяет структурным условиям (10.23), Тогда существует положительная постоянная
такая, что если
то справедлива оценка
с постоянной
.
Доказательство. В силу леммы 10.8 достаточно получить оценку
. Как и в предыдущих доказательствах, мы сначала предположим, что и
и что
на
Подставляя фукнцию
в интегральное неравенство (1021), мы получаем с помощью (10.23) неравенство
а это в силу (7.6), в свою очередь, не превосходит
каково бы ни было
Если
то возьмем
и воспользуемся неравенством Пуанкаре (7.44), Получим неравенство при
Следовательно, если
то
Отсюда следует требуемая оценка (10,29).
Заметим, что при
постоянные
не войдут в неравенства (10.28) и (10.29). Используя точный вид неравенства Пуанкаре (7.44)
мы можем в этом случае (при
взять
Записав уравнение поверхностей с заданной средней кривизной (10.7) в дивергентном виде
несложно убедиться, что оно удовлетворяет структурным условиям (10,23) с постоянными
Поэтому если функция
удовлетворяет неравенству
то для произвольного субрешения (решения) уравнения (1031), принадлежащего
справедлива оценка
Завершим этот раздел следующим замечанием. Можно рассматривать структурные условия вида (10.23), в которых величины
являются неотрицательными измеримыми функциями. В частности, в предположении, что функции
принадлежат
где число
удовлетворяет неравенствам
утверждения леммы 10.1 и теоремы 10.9 остаются справедливыми, но в неравенствах (10.24) и (10.26) числа
надо заменить соответственно на
а постоянные С будут дополнительно зависеть от числа
Так же может быть обобщена и теорема 10,10, с заменой условия (10.28) на условие
где
Для уравнения поверхностей с заданной средней кривизной справедлив более общий результат (ранее установленный в следствии (10.6) другим способом): если функция
удовлетворяет неравенству
то справедлив принцип максимума (10.33) с
Доказательство этого утверждения по существу такое же, как и в случае, когда величины
являются постоянными (см. задачу 10.4). Отметим в заключение, что все результаты этого раздела (и их доказательства) справедливы в предположении, что функция и принадлежит пространству Соболева
(а не пространству
Примечания
Первые результаты этой главы, содержащиеся в теоремах
и
, являются основными вариантами принципа максимума Хопфа. Контрпример, приведенный в разделе 10.3, принадлежит Мейерсу [186]. Условия
принципа сравнения (теоремы 10.7), были введены Трудингером [281]. Условие
обобщает более раннее условие из работы Дуглиса, Дюпона и Серрина [91]. Условие (iii) по существу введено Серрином [263]. Принцип максимума (теорема 10.9) является новым результатом, хотя техника его доказательства была ранее описана в [288]. Для ознакомления с другими принципами максимума для квазилинейных уравнений читатель отсылается к работам [263], [265].
Отметим также, что неравенство Пуанкаре в виде (10.3) является следствием изопериметрического неравенства (см., например, [301]). Теорема 10.5 и следствие 10.6 имеются у Бакельмана [22].
Задачи
(см. скан)