ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА И НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ

В гл. 2 мы ввели фундаментальное решение уравнения Лапласа

Пусть функция интегрируема по области Ньютоновым потенциалом с плотностью называется функция определенная на равенством

Формула Грина (2.16) показывает, что любая функция из в области с достаточно гладкой границей может быть представлена в виде суммы гармонической функции и ньютонова потенциала от ее лапласиана. Поэтому неудивительно, что изучение уравнения Пуассона в значительной степени может быть осуществлено с помощью изучения ньютонова потенциала Настоящая глава посвящена прежде всего оценкам производных ньютонова потенциала. Эти оценки не только позволяют получать теоремы разрешимости классической задачи Дирихле для уравнения Пуассона, но и образуют основу шаудеровского и опирающегося на теорию потенциалов подходов к изучению линейных эллиптических уравнений, рассмотренных в гл. 6.

4.1. Непрерывность по Гёльдеру

Если функция принадлежит С (12), то, записывая

мы видим, что и функция будет принадлежать Если, с другой строны, функцию предполагать только непрерывной, то ньютонов потенциал может не быть дважды дифференцируемым. Классом функций, полезным и удобным при изучении ньютонова потенциала, является класс непрерывных по Гёльдеру функций, который мы сейчас введем.

Пусть точка и функция определена на ограниченном множестве содержащем При будем говорить, что функция непрерывна по Гёльдеру с показателем а в точке если конечна величина

Величину будем называть коэффициентом Гёльдера (с

показателем а) функции в точке относительно множества Ясно, что если функция непрерывна по Гёльдеру в точке то функция непрерывна в точке Будем говорить, что функция непрерывна по Липщицу в точке если конечна величина (4.3) с

Пример. Определенная в шаре равенством функция непрерывна с показателем (5 в точке если и непрерывна по Липшицу, если

Понятие непрерывности по Гёльдеру естественным образом распространяется на все множество (не обязательно ограниченное). Назовем функцию равномерно непрерывной по Гёльдеру на с показателем а, если величина

конечна, и локально непрерывной по Гёльдеру на с показателем а, если равномерно непрерывна с показателем а на всех компактных подмножествах множества Эти два понятия совпадают, если есть компакт. Подчеркнем, что локальная непрерывность по Гёльдеру есть более сильное свойство, нежели поточечная непрерывность по Гёльдеру на компактных подмножествах. Кроме того, ограниченная в локально непрерывная по Гёльдеру функция будет поточечно непрерывной по Гёльдеру на всем

Непрерывность по Гёльдеру оказьюается качественной характеристикой непрерьюности, хорошо приспособленной для изучения дифференциальных уравнений с частными производными. В определенном смысле ее можно рассматривать как дробное дифференцирование. Она приводит к естественному обобщению понятий хорошо известных пространств дифференцируемых функций.

Пусть открытое множество в — неотрицательное целое число. Пространство Гёльдера определяется как подпространство , состоящее из функций, все производные которых равномерно непрерывны по Гёльдеру (локально непрерывны по Гёльдеру) с показателем а на Для простоты будем писать

при этом всегда будем считать, если нет специальных оговорок, что

Полагая, при

мы можем считать пространства включенными в шкалу пространств где Обозначим также через пространство функций, принадлежащих пространству и имеющих компактный носитель в

Положим

С помощью этих полунорм мы можем определить в пространствах соответственно нормы

Иногда, и главным образом этой главе, нам будут полезны безразмерные нормы в С (12) и Если ограничено и то положим

Пространства снабженные этими нормами, являются банаховыми пространствами (см. гл. 5).

Отметим здесь, что произведение непрерывных по Гёльдеру функций является также непрерывной по Гёльдеру функцией. Действительно, если и то где и Для областей рассматриваемых в этой работе, справедливо (теоретико-множественное) вложение если только к Подчеркнем, что такое вложение в общем случае может не иметь места. Рассмотрим, например, область и пусть функция равна с некоторым для равнанулю для Ясно, что и Однако легко проверить, что и при следовательно,