15.4. Уравнения в дивергентной форме

Пусть функция удовлетворяет в области уравнению в дивергентной форме

Как было показано в разделе 13.1, производные удовлетворяют линейным уравнениям дивергентного вида, а именно

где

Предполагаем далее, что оператор эллиптичен в следующем смысле:

для всех где некоторое вещественное число и положительная невозрастающая функция, определенная на Глобальная оценка градиента для неравномерно эллиптического оператора может быть получена при дополнительных структурных условиях:

Чтобы показать это, положим и применим принцип максимума, теорема 8.16, к уравнению (15.57) в области Получим:

дня где Полагая и используя условия (15.60), в итоге получаем

где при Следовательно, имеет место априорная оценка

Теорема 15.6. Яусгь функция удовлетворяет уравнению (15.56) в ограниченной области Предположим, что выполнены структурные условия (15.59), . Тогда справедлива оценка

где постоянная С зависит от и от величин из (15.60).

Условие (15.60) требует, чтобы коэффициент в уравнении (15.1) удовлетворял условию: при Чтобы ослабить это условие, мы можем или наложить дополнительные условия на матрицу коэффициентов такие, как равномерная эллиптичность, или предположить, что решение и обращается в нуль на границе (см. задачи 15.4, 15.5). Заметим, что существование глобальной оценки градиента приводит, с помощью оценки (15.61), к существованию соответствующих интегральных оценок для функций Вернемся на этом этапе к вопросу о получении внутренних оценок градиента для равномерно эллиптических уравнений, Предположим, что оператор равномерно эллиптичен в в следующем смысле:

для всех где положительная неубывающая функция на Впредь будем также предполагать, что в этом случае из условий (15.59), (15.64) следует, что

Наконец, вместо (15.60) возьмем более общее условие:

для всех Условия (15.59), (15.64), (15.66) можно рассматривать как естественные для операторов дивергентного вида. Вывод априорной внутренней оценки градиента при этих условиях разобьем на три шага.

(i) Редукция к оценке в Заменяем пробную функцию в (15.57) на и суммируем получающиеся уравнения по к. Обозначив получаем:

Отсюда с помощью неравенства Юнга (7.6) получаем неравенство

для всех неотрицательных . Полагая можем (15.67) записать в виде

где . К неравенству (15.68) применима внутренняя оценка для слабых субрешений линейных уравнений (теорема 8.17). Используя (15.66), получаем в любом шаре оценку

где . Следовательно, для достаточно большой степени выполняется неравенство

(ii) Редукция к оценке Гёльдера, Нам теперь потребуется слабая форма уравнения (15.57):

Из (15.65) следует, что функцияудовлетворяет неравенствам

для где положительные неубывающая и соответственно невозрастающая функции, зависящие от и от Подставим в (15.70) пробную функцию и , где Используя (15.66) и (15.71), получаем

где Следовательно, если радиус выбран столь малым, что , то

где Заменим теперь функцию на функцию Получим оценку

Для оценки последнего слагаемого полученного неравенства возьмем функцию в неравенстве (15.67). Используя условия (15.59), (15.64) и (15.66), долучим

где Следовательно, применив неравенство Юнга (7.6), имеем:

где Поэтому если величина со достаточно мала, то после подстановки в (15.73) получаем:

где . Заменяя на и используя неравенство Юнга (7.6), приходим к неравенству

где . В частности, если в шаре то для любого

где Объединяя оценки (15.69) и (15.74), в любом шаре и для получаем оценку

где

Таким образом, получение внутренней оценки градиента сводится к получению внутренней оценки Гёльдера для и. Отметим здесь, что для завершения доказательства в действительности достаточно иметь оценку модуля непрерьюности функции и. Кроме того, если структурные условия (15.66) более ограничительны, например такие: при то из приведенных выше рассмотрений следует внутренняя оценка градиента, не зависящая от модуля непрерывности и. В этом случае можно также ослабить требование равномерной эллиптичности оператора а именно потребовать, чтобы

где (см. задачу (15.6).

(iii) Оценка Гёльдера слабых решений уравнения (15.66). Запишем неравенства (15.71) вместе с условием в виде:

где — положительные постоянные, зависящие, быть может, от Тогда справедлива следующая оценка

Теорема 15.7. Пусть функция и слабое решение уравнения (15.66) в области Предположим, что оператор удовлетворяет структурным условиям (15.76). Тогда в любом шаре при любом справедлива оценка

где положительные постоянные,

Доказательство. Теорема 15.7 может быть доказана по существу тем же методом, что и теорема 8.22, или другим методом, описанным в задаче 8.6. Мы не будем здесь излагать все детали доказательства. Существенной частью доказательства теоремы 8.22 было использование слабого неравенства Харнака (теорема 8.18). Полагая получаем для неотрицательных слабых решений уравнения (15.56) аналог слабого неравенства Харнака вида

где Доказательство неравенства (15.78) может быть осуществлено по образцу доказательства теоремы 8.18, если в неравенстве вместо (8.48) берется пробная функция вида и используется неравенство Соболева (7.26) с вместо Переход от слабого неравенства Харнака к оценке Гёльдера (15.77) можно осуществить так же, как в доказательстве теоремы 8.22. Отметим, что случай может быть получен прямо из неравенства Соболева (теорема 7.17).

Объединив теорему 15.7 с оценкой (15.75), в итоге получаем следующую внутреннюю оценку градиента.

Теорема 15.8. Пусть функция и удовлетворяет уравнению (15.57) в области Предположим, что выполнены структурные условия (15.60), (15.64) и (15.66) с постоянной Тогда в любой точке ,

причем постоянная С зависит от величин, где

Применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям доказательства теоремы 8.29, мы можем из внутренней оценки (17.79) (и глобальной оценки Липшица, теорема 14.1) вывести следующую глобальную оценку.

Теорема 15.9. Пусть функция и в ограниченной области удовлетворяет уравнению (15.57). Предположим, что выполняются структурные условия (15.60), (15.64) и (15.66) с постоянной Предположим также, что область удовлетворяет равномерному условию внешней сферы и что на где Тогда

справедлива оценка

с постоянной зависящей от