7.8. Оценки потенциалов и теоремы вложения

Теоремы вложения предыдущего раздела могут быть получены другим способом с помощью оценок некоторых потенциалов. Пусть . Определим оператор на пространстве с помощью потенциала Рисса

Оператор определен для всех и отображает пространство в себя. Этот факт вытекает из следующей далее леммы. Но прежде

заметим, что если в то получим

Ибо если выбрать такое, что то

Лемма 7.12. Оператор непрерывно отображает пространство в пространство при любом удовлетворяющем неравенствам

Более того, для любой функции

Доказательство. Возьмем число такое, что Тогда и в силу (7.32) получаем Оценку (7.34) можно теперь получить, приспосабливая обычное доказательство неравенство Юнга для сверток в . Записывая мы можем оценить с помощью неравенства Гёльдера (7.11)

так что

Отметим, что лемма 7.12 может быть усилена в том смысле, что оператор преобразует пространство в пространство непрерывно, если выполнены неравенства Доказательство этого факта

осуществляется с помощью неравенств Харди и Лнттлвуда (см. [319]). Однако для наших целей достаточно приведенного утверждения. Заметим, что при оператор V непрерывно отображает рассмотрим теперь промежуточный случай

Лемма 7.13. Пусть Тогда существуют такие постоянные зависящие только от что справедливо неравенство

Доказательство. Из леммы 7.12 для произвольного так что и поэтому при Следовательно,

Требуемая оценка (7.35) получается в силу теоремы о монотонной сходимости и (7.8), так как ряд вправой части сходится при ееопр

Следующие леммы полезны для уяснения связи между слабыми производными и потенциалами, введенными выше.

Лемма 7.14. Пусть и Тогда

Доказательство. Предположим, что Продолжим функцию нулем вне Тогда для любого вектора со такого, что имеем Интегрируя по со, получаем

Теперь утверждение леммы следует из леммы 7.12 и того факта, что пространство Со (12) плотно в

Отметим, что из формулы (7.36) с помощью формулы интегрирования по частям (7.16) получается представление ньютоновым потенциалом функций класса Со равенство (2.17). Мы также получаем для оценку

Объединяя результаты леммы 7.12 и неравенство (7.37), мы получаем вложение для пкоторое почти совпадает с утверждением теоремы 7.10. Для целей этой книги достаточна и эта более слабая форма соответствующих вложений. К тому же, объединяя лемму 7.13 и неравенство (7.37), мы получим уточнение этого утверждения в случаер выражающееся следующей теоремой.

Теорема 7.15. Пусть Тогда существуют такие постоянные зависящие только что

Замечание. Оценка (7.37) легко обобщается на слабые производные высокого порядка. Для и она имеет вид

С ее помощью и с помощью леммы 7.13 можно получить обобщение теоремы 7.15. А именно существуют такие постоянные зависящие только от что если и то

В случае теоремы вложения Соболева могут быть уточнены следующим образом.

Лемма 7.16. Пусть область выпукла Тогда

где

a S - произвольное измеримое подмножество

Доказательство. В силу теоремы 7.9 достаточно доказать утверждение теоремы для функций и из . В этом случае для произвольных

точек мы можем записать, что

Интегрируя это соотношение по , получаем

Ввводя функцию

имеем

Мы можем теперь доказать теорему вложения Морри.

Теорема 7.17. Пусть Тогда и где Более того, для любого шара

Доказательство. Объединяя оценки (7.41) и (7.34) для случая, когда , получаем:

почти всюду в

Отсюда следует требуемый результат, так как почти всюду в Объединяя результаты теорем 7.10 и 7.17, получаем оценку для и в случае

Запишем результаты теорем 7.10, 7.15 и 7.17 ввиде следующей диаграммы: если если

Здесь через обозначено пространство Оряича, порождаемое функцией (более точное определение пространства см. в [283]).

В этой книге для получения большинства априорных оценок будет достаточно более слабых форм неравенств Соболева, известных как неравенства Пуанкаре. Из лемм 7.12 и 7.14 мы имеем для

а в силу лемм 7.12 и 7.16 для в выпуклой области