8.4. Глобальная регулярность

В предположении определенной гладкости границы результаты предыдущего раздела о внутренней гладкости решений могут быть распространены на всю область Сначала докажем такой глобальный аналог теоремы 8.8.

Теорема 8.12. Пусть выполнены условия теоремы 8.8 и пусть, дополнительно, граница является границей класса и существует функция , такая, что Тогда и и справедлива оценка

с постоянной

Доказательство. Заменяя и на мы без ограничения общности можем считать, что т. е. В силу леммы 8.4 справедлива оценка

с постоянной . Так как то для каждой точки существует шар и существует взаимно однозначное

отображение этого шара на открытое множество такое, что

и . Пусть Обозначим

При отображении уравнение преобразуется в уравнение такого же вида в области (см. с. 98). Постоянные для преобразованного уравнения оценивается величинами, зависящими от отображения и от значений для исходного уравнения. Кроме того, так как то решение преобразованного уравнения принадлежит и удовлетворяет условию для всех Поэтому мы будем считать, что функция и удовлетворяет уравнению для любой функции Тогда при и для имеем Поэтому применимы рассуждения доказательства теоремы 8.8. В результате получим, что для любого если только I или отличны от Осталось оценить вторую производную Она может быть оценена непосредственно из уравнения (8.18). Возвращаясь в исходную область с помощью отображения мы получим, что и . А так как произвольная точка границы в силу теоремы 8.8, то получаем, что и Наконец, взяв конечное число точек таких, что шары покрывают границу мы придем к оценке (8.25), используя (8.17) и (8.26).

Заметим, что из условий и где следует, что также и если только Действительно, в силу леммы имеем если только достаточно мало. Отсюда по теореме 5.12 следует, что существует последовательность слабо сходящаяся в гильбертовом пространстве Предел этой последовательности является, очевидно, функцией Далее глобальная регулярность решений уравнения доказывается точно так же, как теорема 8.10 доказывалась на основе теоремы 8.8. Итак, справедливо следующее обобщение теорем 8.10 и 8.11.

Теорема 8.13. Предположим, дополнительно к условиям теоремы 8.10, что и что существует функция такая, что Тогда и и справедлива оценка

с постоянной функции принадлежат если граница принадлежит классу то решение и также принадлежит

Объединяя теоремы 8.3 и 8.13, мы получаем теоремы существования решений для классической задачи Дирихле для уравнения (8.21). Ранее она была установлена в гл. 6 (см. теоремы 6.14 и 6.19).

Теорема 8.14. Пусть оператор заданный формулой (8.21), строго эллиптичен в и имеет бесконечно дифференцируемые в коэффициенты, причем в коэффициент с неположителен. Пусть Тогда существует единственное решение и задачи Дирихле на при любых

С помощью аппроксимации из теоремы 8.14 могут быть получены теоремы существования, установленные в гл. 6. При этом, разумеется, потребуется, чтобы априорные оценки гл. 6 гарантировали сходимость аппроксимирующих решений.