ГЛАВА 5. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

В этой главе излагаются сведения из функционального анализа, которые будут использоваться в гл. 6 и 8 при изучении вопроса о существовании решений линейных эллиптических уравнений. Этот материал может быть хорошо знаком читателю, уже владеющему основами функционального анализа, но мы предполагаем лишь некоторое знакомство с элементами линейной алгебры и теорией метрических пространств. Подчеркнем, что все используемые в этой книге линейные пространства рассматриваются над полем вещественных чисел. Материал этой главы переносится без значительных изменений на случай, когда поле вещественных чисел заменяется полем комплексных чисел.

Пусть линейное пространство над Норма на V есть отображение далее мы пишем: удовлетворяющее аксиомам:

(i) для всех тогда и только тогда, когда

(ii) для всех

(iii) для всех х, (неравенство треугольника).

Линейное пространство V, снабженное нормой, называется линейным нормированным пространством. Линейное нормированное пространство является метрическим пространством с метрикой задаваемой равенством

Следовательно, последовательность сходится к элементу х если Последовательность называется последовательностью Коши, если при Если полное пространство, т.е. любая последовательность Коши сходится к элементу то называется банаховым пространством.

Примеры.

(i) Евклидово пространство является банаховым пространством с нормой

(ii) Для ограниченной области пространство Гелъдера является банаховым пространством с одной из эквивалентных норм (4.6) или (4.6), введенных в гл. 4 (см. задачи 5.1 и 5.2).

(iii) Пространства Соболева (см. гл. 7).

Теоремы существования для дифференциальных уравнений с частными производными часто сводятся к разрешимости уравнений в соответствующих функциональных пространствах. В шаудеровской теории линейных эллиптических уравнений мы будем использовать две основные теоремы существования для операторных уравнений в банаховых пространствах, а именно принцип сжимающих отображений и альтернативу Фредгольма.