6.6. Неравномерно эллиптические уравнения

Теоремы существования, установленные в предыдущих разделах для произвольных гладких ограниченных областей, были получены в предположении равномерной эллиптичности дифференциального оператора Когда уравнение перестает быть равномерно эллиптическим, условия разрешимости являются более ограничительными; в общем случае они содержат ограничения на геометрию рассматриваемой области или устанавливают связь между ней и дифференциальным оператором.

Для иллюстрации рассмотрим пример, в котором задача Дирихле неразрешима. Рассмотрим решение и уравнения

в прямоугольнике такое, что и удовлетворяет граничным условиям Любое такое решение и раскладывается в ряд Фурье вида в котором коэффициенты удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению Это уравнение имеет фундаментальную систему решений где Так как решение ограничено вплоть до то и поэтому Следовательно, непрерывные на решения, принимающие заданные граничные условкя, обращаются в нуль при поэтому произвольные граничные значения при задавать нельзя.

Основные моменты доказательства теоремы 6.13 можно распространить на неравномерно эллиптические уравнения при соответствующих условиях на коэффициенты и область. Прежде всего отметим, что если правая часть и коэффициенты оператора L в уравнении , в котором Локально непрерывны по Гёльдеру в области а множество субфункций задачи Дирихле относительно заданной граничной функции у непусто и ограничено сверху, то процесс Перрона определяет в ограниченное решение уравнения (теорема 6.11). В частности, такова ситуация в случае, когда функции где наименьшее собственное значение матрицы старших коэффициентов и область ограничены (см. теорему 3.7). Далее мы предполагаем выполненными эти условия.

Чтобы выяснить, когда в точке непрерьюности граничной функции предположим, как и в обсуждении перед теоремой 6.13, что область удовлетворяет условию внешней сферы в точке и пусть такой шар, что Вместо предположения равномерной эллиптичности вблизи точки оператора мы

предположим, что выполняется другое (менее ограничительное) предположение: для всех точек х из пересечения области с некоторой окрестностью точки частности, для непрерывной в точке матрицы это условие будет выполнено, если т. е. если радиус-вектор у шара В (нормаль к не принадлежит ядру отображения Тогда, несмотря на то, что минимальное собственное значение и может стремиться к нулю при для всех имеет место неравенство где X — некоторая положительная постоянная). Предположим также, что все коэффициенты оператора ограничены. Теперь применимы основанные на построении барьеров рассуждения из доказательства теоремы 6.13: при соответствующем выборе постоянных и о функция является локальным барьером в точке и следовательно, Отметим, в рассмотренном выше примере краевой задачи для уравнения (6.54) нормаль в каждой точке граничного отрезка принадлежит ядру матрицы старших коэффициентов и заменяющее равномерную эллиптичность условие не выполняется.

Пусть теперь произвольная положительная матрица. Предположим, что функции ограничены. Деля уравнение на минимальное собственное значение X, мы можем без ограничения общности считать, что оператор строго эллиптичен в В этой ситуации стремление к можно гарантировать, если потребовать, чтобы область удовлетворяла строгому условию внешней плоскости в точке Под последним мы будем понимать существование такой гиперплоскости, что в некоторой окрестности гочки ее пересечение с состоит из одной точки Это условие выполнено, например, в случае, когда строго выпукла вблизи Чтобы доказать, что будем считать, что точка совпадает с началом координат (это не ограничивает общности), и предположим, что нормаль к имеющейся внешней плоскости в имеет направление оси причем точек из окрестности В этом случае существует такая полоса что ее пересечение с областью вблизи точки таково, что для точек из Как и в доказательстве теоремы 3.7, можно проверить, что функция удовлетворяет в неравенству если поскольку мы взяли то Отсюда следует, аналогично замечанию 1 после леммы 6.12, что для некоторой постоянной функции

определяют локальный барьер в точке относительно верхней и нижней граней функции и на

Заметим, что в случае, когда граничная функция постоянна вблизи гочки утверждение выполняется, даже если удовлетворяет нестрогому условию внешней плоскости в точке В связи с этим

отметим, что в граничной задаче, рассмотренной для уравнения (6.54), интеравал границы выпукл, но не строго выпукл, а граничная задача разрешима только для граничной функции, равной на интервале нулю.

Предыдущие замечания непосредственно позволяют получить следующее простое обобщение теоремы 6.13 на неравномерно эллиптические уравнения.

Теорема 6.24. Пусть оператор строго эллиптичен (удовлетворяет в ограниченной области его коэффициенты и функция принадлежат ограничены и Предположим также, что область удовлетворяет условию внешней сферы, а в тех точках границы, в которых какой-либо из коэффициентов неограничен, дополнительно строгому условию внешней плоскости. Тогда для любой непрерывной на функции у задача Дирихле на имеет (единственное) решение и

Из проведенных выше рассуждений понятно, как можно модифицировать различными способами получаемый результат (см., например, задачу 6.4). В случае, когда уравнение однородно, а оператор не содержит младших членов, справедливо следующее утверждение.

Следствие 6.24. Пусть коэффициенты эллиптического уравнения принадлежат а область ограничена и строго выпукла. Тогда задача Дирихле на разрешима в для произвольной непрерывной граничной функции

Хотя этот результат является прямым следствием теоремы 6.24, его доказательство может быть получено непосредственно, если заметить, что в силу строгой выпуклости области и в силу специального вида уравнения линейная функция определяет барьер в каждой граничной точке.

Другие общие достаточные условия существования барьеров дает тщательное изучение связи между коэффициентами оператора и локальными свойствами кривизны границы области. Пусть функция и коэффициенты оператора у которого с ограничены в области класса Минимальное собственное значение матрицы старших коэффициентов может обращаться в нуль в точках Попытаемся найти условия, достаточные для существования локального барьера в точке относительно непрерьюной граничной функции и граней

Пусть В — шар с центром в точке шар В будет выбран далее. Пусть фиксированная функция такая, что на Для произвольного и соответствующей постоянной выполняются неравенства

Введем теперь функцию, значения которой равны расстоянию до границы, (см. приложение к гл. 14); она является функцией класса в некоторой окрестности Можно считать, что Найдем условия, при которых функции вида

где некоторая положительная постоянная, определяют барьеры в точке Так будет, если в выполняются неравенства В частности, функции определяют барьеры, если некоторой постоянной К выполняется неравенство

Таким образом, получено достаточное условие существования барьера, проверяемое с помощью данного уравнения и области.

Для более кошсретной реализаций условия (6.55) предположим, что коэффициенты непрерывны в точке Выберем систему координат так, чтобы точка являлась началом координат, а ось совпадала с внутренней нормалью в точке Вращая координатные оси вокруг оси (пусть это вращение осуществляется матрицей поворота , можно добиться того, что новые оси совпадают с главными направлениями поверхности в точке В этом случае гессиан будет диагональной матрицей:

где главные кривизны поверхности в точке вычисленные в направлении внутренней нормали в точке (см. приложения к гл. 14). Если соответствующие диагональные элементы матрицы то

Поэтому если

то из непрерывности следует, что в где некоторый шар с центром выполняется неравенство (6.55), коль скоро величина К достаточно велика. Если, кроме того, в точке непрерывны коэффициенты и если нормальная составляющая вектора по направлению внутренней нормали, то условие (6.55) выполняется в некоторой области в случае, когда

При перечисленных условиях неравенства (6.57) и (6.58) являются, следовательно, достаточными условиями существования локального барьера в точке При неравенство (6.58) принимает следующий простой вид:

в котором участвуют только старшие коэффициенты уравнения, главные кривизны и главные направления границы.

Нетрудно освободиться от требования непрерывности коэффициентов на границе и сформулировать соответствующим образом аналоги условий (6.57) и (6.58).

Предыдущие рассуждения применимы даже в случае, когда граница не является границей класса если предположить, что существует область класса такая, что и существует некоторый шар В, содержащий точку такой, что Описанные выше условия существования барьера в точке остаются справедливыми, если в них функцию расстояния заменить на функцию

Предыдущие замечания и их уточнения, сделанные в этом разделе и касающиеся условия внешней сферы, показьюают, что барьер существует на следующих множествах граничных точек области класса

и

в предположении, что в точках этих множеств коэффициенты непрерывны.

Эти результаты вместе с результатом теоремы 6.11 приводят к следующей теореме.

Теорема 6.25. Пусть оператор (см. (6.1)) эллиптичен в области класса принадлежат Предположим, что Тогда задача имеет единственное решение и для произвольной граничной функции , и это решение принадлежит

Заметим, что при некоторых условиях на решение однозначно определяется значениями на даже если это имеет место, например, в случае, описанном в примере (6.54). Принцип максимума для такой граничной задачи приведен в задаче 6.10.