16.3. Применение к задаче Дирихле

В этом разделе мы изучим разрешимость задачи Дирихле с непрерывными граничными данными для уравнения минимальных поверхностей и для уравнения поверхностей с заданной средней кривизной. Для уравнения минимальных поверхностей справедлива следующая теорема, обобщающая теорему 14.14.

Теорема 16.8. Пусть ограниченная область в класса Тогда задача Дирихле на разрешима для любой функции тогда и только тогда, когда средняя кривизна границы всюду неотрицательна.

Доказательство. Предположим сначала, что для некоторого и что средняя кривизна всюду неотрицательна. Пусть последовательность функций из которая равномерно сходится на к функции В силу теоремы 14.14 задача Дирихле на однозначно разрешима в а из принципа сравнения (теорема 10.1) имеем

Следовательно, последовательность равномерно сходится на к некоторой функции и причем на Применяя теорему Арцеля и следствие 16,7, получаем, что Результат для области класса получается с помощью аппроксимации областями класса Утверждение теоремы 16.8 о неразрешимости является непосредственным следствием теоремы 14.14.

Теоремы разрешимости для неоднородного уравнения (16.1) зависят от выполнимости для решений соответствующего принципа максимума.

Комбинируя теорему 13.8, следствие 14.8 и теорему 152, мы сначала получим следующий основной результат для гладких граничных данных (см. также теорему 15.15).

Теорема 16.9. Пусть ограниченная область в для некоторого и пусть Пусть Предположим, что средняя кривизна функция удовлетворяет неравенству

в каждой точке , Тогда если семейство решений задач Дирихле

равномерно ограничено в существует единственная функция и , удовлетворяющая уравнению (16.1) в и равенству на

Необходимость условия (16.58) доказывается с помощью следствия 14.13. Вьюедем другое необходимое условие разрешимости. Именно, из интегрального тождества (16.42) для уравнения (16.1) следует неравенство

какова бы ни была функция Представив некоторое положительное число, получаем неравенство

для всех . Обратно, из доказательства теоремы 10.10, очевидно следует, что полученное условие (16.60) достаточно для того, чтобы была справедлива априорная оценка для всех решений и уравнения (16.1), принадлежащих Таким образом, из теоремы 16.9 получаем следующую точную теорему существования.

Теорема 16.10. Пусть ограниченная область для некоторого и выполнены неравенства (16,58) и (16.60). Тогда задача Дирихле на однозначно разрешима в Если же то задача Дирихле однозначно разрешима в условие (16.60) вытекает из условия

(ср. (10.35)). Более общее, чем (16.61), условие дано в [87]. Второе утверждение теоремы 16.10 следует из ее первого утверждения подобно

тому, как теорема 16,8 вытекает из теоремы 14.4. Отметим, что если и то требуем только, что функция удовлетворяет условию (16.60) с

Если функция постоянна в то условие (16.60) в теореме 16.10 становится излишним. Чтобы убедиться в этом, предположим, что выполнено Пусть 121 — подмножество содержащее точки, имеющие единственную предельную точку на Анализ доказательств лемм 14.16 и 14.17 доказывает, что в 121, где Пусть и Определим функцию

где Тогда

так что функция является субрешением уравнения (16.1) на открытом подмножестве Следовательно, если функция и удовлетворяет (16.1) в то в силу принципа сравнения (теорема 10.1) функция достигает максимального в значения или на , или на Пусть — точка, принадлежащая — прямолинейный отрезок от точки ортогональный Если максимальное на у значение достигается в точке у, то так что и максимальное значение и на у достигается в точке у. Это показьюает, что функция не может иметь максимального значения на Следовательно, справедлива оценка

Объединяя (16.62) с теоремой 16.9 и следствием 14,13, мы получае следующую теорему существования для уравнения поверхностей с постоянной средней кривизной.

Теорема 16.11. Пусть ограниченная область в класса Тогда задача Дирихле разрешима в случае постоянной кривизны Я для произвольной функции тогда и только тогда, когда средняя кривизна Я границы удовлетворяет неравенству всюду на