7.9. Оценки Морри и Джона - Ниренберга

Перейдем теперь к рассмотрению потенциальных операторов на другом классе пространств и докажем результаты, принадлежащие Морри (теорема 7.19) и Джону и Ниренбергу (теорема 7.21). А именно, интегрируемую функцию будем назьюать функцией класса если существует такая постоянная К, что

для любого шара Норму определим как наименьшую постоянную К, с которой выполяется неравенство (7.46). Легко видеть, что

Ограничимся рассмотрением случая, когда

Лемма 7.18. Пусть Тогда

Доказательство. Продолжим функцию нулем вне и определим Тогда

Следующая теорема обобщает теорему 7.17.

Теорема 7.19, Дусть и Предположим, что существуют положительные постоянные такие, что

Тогда и и для любого шара

где некоторая область и неравенство (7.48) выполнено для всех шаров то и неравенство (7.49) выполнено для всех шаров

Теорема 7.19 получается в результате объединения утверждения леммы и леммы 7.18.

В качестве следствия леммы 7.18 имеем следующее утверждение. Лемма 7.20. Пусть Тогда существуют постоянные зависящие только от такие, что справедливо неравенство

Доказательство. Представив при в виде

и воспользовавшись неравенством Гёльдера, получаем неравенство

В силу леммы 7.18

Также, в силу леммы 7.12,

Следовательно,

Отсюда

если Устремляя получаем (7.50).

Объединяя результаты леммы 7.16 и 7.20, имеем следующее утверждение

Теорема 7.21. Пусть выпуклая область и Предположим, что существует такая К, что для любого шара справедливо

неравенство

Тогда существуют такие зависящие только от положительные постоянные что

где