6.1. Внутренние оценки Шаудера

Нашим первым объектом при изучении уравнения будут внутренние оценки Шаудера. Эти оценки играют далее важную роль при изучении вопросов о существовании решения и о его регулярности. Их доказательство использует результаты, аналогичные полученным ранее в (6.4) для решений уравнения

Отметим, что для получения оценки внутренней нормы решения уравнения достаточно оценить только норму и полунорму (эти величины определены в Это вытекает из следующих интерполяционных неравенств.

Пусть функция и открытое подмножество в Тогда для любого существует такая постоянная что справедливы неравенства

Доказательство этого утверждения содержится в приложении 1 к этой главе — см. лемму 6.32.

Для получения точных оценок Шаудера, имея также в виду их дальнейшие применения, введем следующие новые внутренние полунормы и нормы в пространствах Дня вещественного числа о

и неотрицательного целого к определим величины

При введенные величины совпадают с величинами, введенными в Легко проверить, что

Основные внутренние оценки Шаудера содержатся в следующей теореме. Теорема 6.2. Пусть открытое подмножество и пусть функция и является ограниченным решением в уравнения

с правой частью Пусть, далее, существуют положительные постоянные такие, что справедливы неравенства

и

Тогда справедлива оценка

с постоянной

Доказательство. В силу (6.9) достаточно установить оценку вида (6.14) для а последнюю достаточно доказать для компактных подмножеств Действительно, пусть последовательность открытых подмножеств множества таких, что Для каждого величина конечна Если неравенство (6.14) выполнено во всех то мы можем считать, что для любой пары точек для всех достаточно больших и для каждой из вторых производных выполнены неравенства

где Устремляя мы получим неравенство

из которого следует такая же оценка для Таким образом, достаточно доказать утверждение теоремы для случая, когда величина конечна.

Условимся, как и прежде, одну и ту же букву С использовать для обозначения разных постоянных, зависящих от

Пусть произвольные точки из Предположим, что Пусть положительная постоянная (она будет указана далее) и пусть Перепишем уравнение

и рассмотрим его как уравнение с постоянными коэффициентами в В. Применяя к решению этого уравнения лемму 6.1 а), мы получаем, что если у о то для каждой из вторых производных справедливо неравенство

и тем самым

Если , то

Объединяя полненные неравенства, получаем оценку с

Оценим теперь через Имеем

Далее нам потребуется следующее неравенство. Заметив, что для всех В справедливо неравенство можем для произвольной функции записать

Обозначая краткости через из (6.11) и (6.18) получаем оценки

Так как

то мы приходим к следующей оценке старших членов в

Последнее неравенство здесь получается с помощью интерполяционного неравенства (6.8), в котором берется

Обозначая для произвольного кратко через из (6.18) и (6.13) получаем неравенство

Здесь при доказательстве последнего неравенства используется интерполяционное неравенство (6.9) с Тогда имеем

Аналогично из (6.18), (6.11) и (6.9) получаем

Наконец,

Обозначая через С постоянные, зависящие от а через постоянные, зависящие также и от и объединяя неравенства (6.19) — (6.22), получаем оценку

Подставляя ее в правые части неравенства (6.16) и используя (6.8) с постоянной для оценки получаем оценку

Так как правая часть доказанного неравенства не зависит от то из него следует оценка верхней грани по всем Следовательно,

Выбирая теперь число так, чтобы мы придем к требуемой оценке

Полученная форма внутренних оценок решений уравнения позволяет рассматривать уравнения, в которых коэффициенты и правая часть могут быть неограниченными функциями, лишь бы выполнялось условие (6.13). В типичных приложениях внутренних оценок при получении результатов о сходимости решений достаточно установить равностепенную непрерывность семейств решений и их производных до второго порядка на компактных подмножествах. Для этой цели обычно используется следующее утверждение.

Следствие 6.3. Пусть функция и удовлетворяет в ограниченной области уравнению с правой частью Пусть оператор удовлетворяет условиям (6.2), а его коэффициенты

принадлежат Тогда если то существует постоянная С такая, что справедливо неравенство

причем постоянная С зависит только от постоянной эллиптичности от норм коэффициентов оператора вычисленных в (равно как и от и диаметра ).

Замечание. Непосредственным следствием этого результата является следующее утверждение: равномерно ограниченное семейство решений эллиптического уравнения коэффициенты и правая часть которого локально непрерывны по Гельдеру, вместе с семействами их первых и вторых производных равностепенно непрерывно на каждом компактном подмножестве. Этот результат справедлив и для решений произвольного семейства таких уравнений с операторами, постоянные эллиптичности X которых отделены от нуля равномерно на компактных подмножествах а коэффициенты части имеют равномерно ограниченные нормы в пространстве