Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6.1. Внутренние оценки ШаудераНашим первым объектом при изучении уравнения Отметим, что для получения оценки внутренней нормы Пусть функция и
Доказательство этого утверждения содержится в приложении 1 к этой главе — см. лемму 6.32. Для получения точных оценок Шаудера, имея также в виду их дальнейшие применения, введем следующие новые внутренние полунормы и нормы в пространствах и неотрицательного целого к определим величины
При
Основные внутренние оценки Шаудера содержатся в следующей теореме. Теорема 6.2. Пусть
с правой частью
и
Тогда справедлива оценка
с постоянной Доказательство. В силу (6.9) достаточно установить оценку вида (6.14) для
где
из которого следует такая же оценка для Условимся, как и прежде, одну и ту же букву С использовать для обозначения разных постоянных, зависящих от Пусть
и рассмотрим его как уравнение с постоянными коэффициентами
и тем самым
Если
Объединяя полненные неравенства, получаем оценку
Оценим теперь
Далее нам потребуется следующее неравенство. Заметив, что для всех
Обозначая
Так как
то мы приходим к следующей оценке старших членов в
Последнее неравенство здесь получается с помощью интерполяционного неравенства (6.8), в котором берется Обозначая
Здесь при доказательстве последнего неравенства используется интерполяционное неравенство (6.9) с
Аналогично из (6.18), (6.11) и (6.9) получаем
Наконец,
Обозначая через С постоянные, зависящие от
Подставляя ее в правые части неравенства (6.16) и используя (6.8) с постоянной
Так как правая часть доказанного неравенства не зависит от
Выбирая теперь число
Полученная форма внутренних оценок решений уравнения Следствие 6.3. Пусть функция и принадлежат
причем постоянная С зависит только от постоянной эллиптичности Замечание. Непосредственным следствием этого результата является следующее утверждение: равномерно ограниченное семейство решений эллиптического уравнения
|
1 |
Оглавление
|