ГЛАВА 11. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

В этой главе исследование разрешимости классической задачи Дирихле для квазилинейных уравнений сводится к установлению некоторых априорных оценок решений. Такое сведение осуществляется с помощью топологических теорем о неподвижной точке в подходящих функциональных пространствах. Сначала мы сформулируем общий критерий разрешимости и проиллюстрируем его применение в ситуации, в которой нами уже были получены требующиеся априорные оценки. Получение таких априорных оценок при более общих условиях будет главным делом последующих глав.

Теоремы о неподвижной точке, требующиеся для осуществляемых здесь рассмотрений, являются бесконечномерными обобщениями теоремы Брауэра о неподвижной точке, утверждающей, что непрерывное отображение замкнутого шара -мерно пространства в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку.

11.1. Теорема Шаудера о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке может быть обобщена на бесконечномерные пространства различными способами. Мы дадим сначала следующее ее обобщение на случай банаховых пространств.

Теорема 11.1. Пусть компактное выпуклое множество в банаховом пространстве и пусть непрерывное отображение в себя. Тогда отображение имеет неподвижную точку. Это значит, что существует элемент такой, что

Доказательство. Пусть произвольное натуральное число. Так как множество компактно, то существует конечное элементов где таких, что шары Пусть — выпуклая оболочка Определим отображение равенством

Ясно, что отображение непрерьюно и для любого элемента справедливо неравенство

Отображение рассматриваемое является непрерывным отображением в себя. По теореме Брауэра о неподвижной точке это отображение имеет неподвижную точку (Заметим, гомеоморфно замкнутому шару евклидова пространства.) Поскольку компактно, то некоторая подпоследовательность последовательности

(обозначим ее вновь через сходится к некоторому элементу Мы утверждаем, что элемент х является неподвижной точкой отображения Т. Действительно, применяя неравенство (11.1) к имеем

и поскольку непрерьюное отображение, то отсюда следует, что

Теорема 11.1, как будет показано в следующей главе, применима к широкому классу уравнений с двумя переменными. Отметим следующее ее обобщение, используемое далее.

Следствие 11.2. Пусть замкнутое выпуклое множество в банаховом пространстве и пусть непрерывное отображение множества в в себя такое, что образ является предкомпактным множеством. Тогда отображение Тимеет неподвижную точку.

Особо отметим одно существенное отличие предыдущих теорем от принципа сжимающих отображений (теорема 5.1): в силу этих теорем неподвижные точки существуют, но они не обязаны быть единственными.