и,
из
удовлетворяют неравенству и
на
если и
на
При получении классического слабого принципа максимума (следствие 3.2) мы требовали, чтобы коэффициент при в (3.1) был неположителен. Соответствующая этому коэффициенту величина в (8.1) имеет вид
В рассматриваемой ситуации
не являются функциями. Тем не менее неположительность величины
можно интерпретировать в обобщенном смысле: справедливо неравенство
для произвольной неотрицательной функции
из С о
Поскольку функции
и
ограничены, неравенство (8.8) по непрерывности распространяется на все неотрицательные функции
из
При выполнении этого условия имеет место следующий слабый принцип максимума.
Теорема 8.1. Пусть функция
удовлетворяет неравенству
Тогда
Доказательство. Если функция и принадлежит
функция
принадлежит
то
(задача 7.4). Это позволяет нам записать неравенство
в виде
для всех
таких, что
(в последнем неравенстве использовано (8.8)), откуда, в силу ограничений (8.6) на коэффициенты уравнения, имеем
для всех
таких, что
. В частном случае, когда
доказательство требуемого утверждения получается немедленно, если взять
где
. В общем случае возьмем число к, удовлетворяющее неравенствам
и положим
(Если такого числа к не существует, то доказьюаемое утверждение справедливо.)
В силу цепного правила (теорема 7.8) имеем:
и
Поэтому из
получаем
и следовательно, в силу строгой эллиптичности оператора
(см. (8.5)) получаем
так что
Применяя теперь неравенство Соболева (теорема
при
получим
и поэтому
При
неравенство такого же вида с постоянной
также получается из неравенства Соболева, если вместо
в предыдущих оценках взять произвольное число, большее 2.
Так как постоянная в этих неравенствах на зависит от к, то они останутся справедливыми и тогда, когда к устремим к
Таким образом, функция и достигает своего наибольшего значения на множестве положительной меры, а на нем, в силу леммы
Получили противоречие с последним неравенством. Следовательно,
Непосредственным следствием теоремы
является единственность решения обобщенной задачи Дирихле для уравнения 8.3.
Следствие 8.2. Пусть функция и
удовлетворяет в
уравнению
Тогда
Об условиях, заменяющих неравенство (8.8), см. задачу 8.1; см. также [292].