8.1. Слабый принцип максимума

Классический слабый принцип максимума — теорема 3.1 — допускает естественное обобщение на операторы дивергентного вида. Чтобы сформулировать его, введем для функций из соболевского пространства понятие неравенства на границе Будем говорить, что функция и удовлетворяет неравенству и на если ее положительная часть принадлежит Если функция и непрерывна в окрестности то она удовлетворяет неравенству и на тогда и только тогда, когда это неравенство выполняется в классическом смысле. К введенному понятию неравенства на границе легко сводятся и другие типы неравенств. Например, на если на функции

и, из удовлетворяют неравенству и на если и на

При получении классического слабого принципа максимума (следствие 3.2) мы требовали, чтобы коэффициент при в (3.1) был неположителен. Соответствующая этому коэффициенту величина в (8.1) имеет вид В рассматриваемой ситуации не являются функциями. Тем не менее неположительность величины можно интерпретировать в обобщенном смысле: справедливо неравенство

для произвольной неотрицательной функции из С о Поскольку функции и ограничены, неравенство (8.8) по непрерывности распространяется на все неотрицательные функции из

При выполнении этого условия имеет место следующий слабый принцип максимума.

Теорема 8.1. Пусть функция удовлетворяет неравенству Тогда

Доказательство. Если функция и принадлежит функция принадлежит то (задача 7.4). Это позволяет нам записать неравенство в виде

для всех таких, что (в последнем неравенстве использовано (8.8)), откуда, в силу ограничений (8.6) на коэффициенты уравнения, имеем

для всех таких, что . В частном случае, когда доказательство требуемого утверждения получается немедленно, если взять где . В общем случае возьмем число к, удовлетворяющее неравенствам и положим (Если такого числа к не существует, то доказьюаемое утверждение справедливо.)

В силу цепного правила (теорема 7.8) имеем: и

Поэтому из получаем

и следовательно, в силу строгой эллиптичности оператора (см. (8.5)) получаем

так что Применяя теперь неравенство Соболева (теорема при получим и поэтому При неравенство такого же вида с постоянной также получается из неравенства Соболева, если вместо в предыдущих оценках взять произвольное число, большее 2.

Так как постоянная в этих неравенствах на зависит от к, то они останутся справедливыми и тогда, когда к устремим к Таким образом, функция и достигает своего наибольшего значения на множестве положительной меры, а на нем, в силу леммы Получили противоречие с последним неравенством. Следовательно,

Непосредственным следствием теоремы является единственность решения обобщенной задачи Дирихле для уравнения 8.3.

Следствие 8.2. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению Тогда

Об условиях, заменяющих неравенство (8.8), см. задачу 8.1; см. также [292].