и, 
из 
удовлетворяют неравенству и 
на 
если и 
на 
При получении классического слабого принципа максимума (следствие 3.2) мы требовали, чтобы коэффициент при в (3.1) был неположителен. Соответствующая этому коэффициенту величина в (8.1) имеет вид 
В рассматриваемой ситуации 
не являются функциями. Тем не менее неположительность величины 
можно интерпретировать в обобщенном смысле: справедливо неравенство
для произвольной неотрицательной функции 
из С о 
Поскольку функции 
и 
ограничены, неравенство (8.8) по непрерывности распространяется на все неотрицательные функции 
из 
При выполнении этого условия имеет место следующий слабый принцип максимума.
Теорема 8.1. Пусть функция 
удовлетворяет неравенству 
Тогда
Доказательство. Если функция и принадлежит 
функция 
принадлежит 
то 
(задача 7.4). Это позволяет нам записать неравенство 
в виде
для всех 
таких, что 
(в последнем неравенстве использовано (8.8)), откуда, в силу ограничений (8.6) на коэффициенты уравнения, имеем
для всех 
таких, что 
. В частном случае, когда 
доказательство требуемого утверждения получается немедленно, если взять 
где 
. В общем случае возьмем число к, удовлетворяющее неравенствам 
и положим 
(Если такого числа к не существует, то доказьюаемое утверждение справедливо.)
В силу цепного правила (теорема 7.8) имеем: 
и
Поэтому из 
получаем
и следовательно, в силу строгой эллиптичности оператора 
(см. (8.5)) получаем
так что 
Применяя теперь неравенство Соболева (теорема 
при 
получим 
и поэтому 
При 
неравенство такого же вида с постоянной 
также получается из неравенства Соболева, если вместо 
в предыдущих оценках взять произвольное число, большее 2.
Так как постоянная в этих неравенствах на зависит от к, то они останутся справедливыми и тогда, когда к устремим к 
Таким образом, функция и достигает своего наибольшего значения на множестве положительной меры, а на нем, в силу леммы 
Получили противоречие с последним неравенством. Следовательно, 
Непосредственным следствием теоремы 
является единственность решения обобщенной задачи Дирихле для уравнения 8.3.
Следствие 8.2. Пусть функция и 
удовлетворяет в 
уравнению 
Тогда 
Об условиях, заменяющих неравенство (8.8), см. задачу 8.1; см. также [292].
понятие неравенства на границе 
Будем говорить, что функция и 
удовлетворяет неравенству и 
на 
если ее положительная часть 
принадлежит 
Если функция и непрерывна в окрестности 
то она удовлетворяет неравенству и 
на 
тогда и только тогда, когда это неравенство выполняется в классическом смысле. К введенному понятию неравенства на границе 
легко сводятся и другие типы неравенств. Например, 
на 
если 
на 
функции
