8.2. Разрешимость задачи Дирихле

Главная цель этого раздела — доказательство следующего результата о существовании решения.

Теорема Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5), (8.6) и (8.8). Тогда для любых обобщенная задача Дирихле

имеет единственное решение.

Доказательство. Теорема 8.3 может быть получена из альтернативы Фредгольма для оператора Сначала сведем задачу Дирихле к случаю нулевых граничных условий. Полагая , из (8.5) получим а из условий, наложенных на и вытекает, что Следовательно, достаточно доказать теорему 8.3 только для случая

Обозначим и

Если бы билинейная форма определенная формулой (8,2), будучи ограниченной, была бы еще и коэрцитивной на , то однозначная разрешимость задачи Дирихле для оператора немедленно следовала бы из теоремы 5.8. В рассматриваемом случае коэрцитивность может не иметь места. Вместо неравенства коэрцитивности воспользуемся следующим неравенством.

Лемма 8.4. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Тогда

Доказательство. Имеем:

(в силу неравенства Шварца)

Определим теперь для оператор формулой Из леммы 8.4 вытекает, что соответствующая оператору форма будет коэрцитивной, если либо число о достаточно велико, либо объем достаточно мал. Определим далее оператор вложения I: равенством

Лемма 8.5. Отображение I компактно.

Доказательство. Мы можем представить где естественное вложение, а отображение определено формулой (8.12), В силу теоремы о компактности (теорема 7.22) оператор компактен (и в случае ), а так как оператор непрерывен, то и будет компактным.

Выберем далее число так, чтобы форма была ограниченной и коэрцитивной на гильбертовом пространстве . Уравнение для и эквивалентно уравнению По теорёме 5.8 оператор задает непрерывное взаимно однозначное отображение Я на Я. Поэтому, применяя его к написанному выше уравнению, мы получаем эквивалентное уравнение

Отображение в силу леммы 8.5 компактно, и следовательно, по альтернативе Фредгольма (теорема 5.3) существование функции удовлетворяющей уравнению (8.13), является следствием единственности в тривиального решения уравнения Утверждение теоремы 8.3 тогда следует из теоремы единственности, следствие 8.2.

Теорема 5.1 позволяет дать описание спектральных свойств оператора Для этого определим формально сопряженный для оператор формулой

Так как для то также сопряжен оператору в гильбертовом пространстве . Заменяя в предыдущем рассуждении на мы видим, что уравнение эквивалентно уравнению и и что сопряженный оператор компактного отображения дается формулой Теперь мы можем использовать теорему и получим следующий результат.

Теорема 8.6. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Тогда существует не более чем счетное дискретное множество такое, что если то задачи Дирихле на однозначно разрешимы для произвольных Если то подпространства решений однородных задач имеют положительные конечные размерности и задача на разрешима тогда и только тогда, когда

для всех удовлетворяющих условиям Кроме того, если выполнено условие (8,8), то .

Оператор определяемый равенством при назьюается оператором Грина для задачи Дирихле для . В силу теоремы 5.3 оператор является ограниченным линейным оператором, определенным на , и поэтому справедлива следующая априорная оценка.

Следствие 8.7. Пусть функция и является решением уравнения удовлетворяет краевому условию на и пусть Тогда существует постоянная С, зависящая только от такая,

Из теоремы 8.6 следует, что утверждение теоремы 8.3 остается справедливым, если в условии (8.8) заменить на