9.7. Локальный принцип максимума

В этом, и в следующих разделах мы сконцентрируем внимание на локальных поточечных оценках для решений уравнений с операторами общего вида (9.1) и получим результаты, аналогичные соответствующим результатам для операторов дивергентного вида (см. разделы 8.6 — 8.10). До конца этой главы будем предполагать, что оператор определенный формулой (9.1), строго эллиптичен и имеет ограниченные коэффициенты в области . В соответствии с этим мы зафиксируем постоянные у и так, чтобы в области выполнялись неравенства

В этом разделе мы докажем следующий аналог оценки для субрешений из теоремы 8.17.

Теорема 9.20. Пусть функция и принадлежит и пусть где Тогда для любого шара и любого справедлива оценка

с постоянной

Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что Общий случай сводится к этому с помощью замены независимых переменных Предположим сначала, что и Возьмем и определим срезающую функцию равенством

Дифференцируя, получаем

Для функции имеем

Пусть верхнее контактное множество функции в шаре Очевидно, что на Кроме того, в силу вогнутости функции на мы можем на оценить

Таким образом, на выполнено неравенство

с постоянной Далее, применяя лемму 9.3, для получаем

Полагая (при условии, что и используя неравенство Юнга (7.6) вида где приходим к неравенству

из которого и следует оценка (9.48). Обобщение на случай и получается непосредственно из рассмотренного случая с помощью аппроксимации. Осуществить это обобщение мы предоставляем читателю. С помощью замены на и утверждение теоремы 9.20 автоматически переносится на суперрешения и решения уравнения

Следствие Пусть и Предположим, что Тогда для любого шара и любого справедлива оценка

с постоянной

Отметим, что оценка (9.48) с дает обобщение неравенства для среднего значения неотрицательных субгармонических функций. А именно,

с постоянной

Теорема 9.20 остается справедливой и при более общих условиях на коэффициенты (см. примечания).