6.7. Другие граничные условия; задача с косой производной

До сих пор мы рассматривали только граничные условия Дирихле. Сейчас мы изложим аналог теории Шаудера для регулярных задач с косой производной.

Уравнение Пуассона

При обобщении шаудеровской теории на другие линейные граничные задачи отправной точкой является теория уравнения Пуассона в полупространстве граничным условием для косой производной вида

с постоянными коэффициентами Запишем граничный оператор в

эквивалентной форме

где вектор является касательной составляющей градиента . Всюду далее предполагаем, что задача с косой производной регулярна, т. е. выполняется условие 0, и будем сначала считать, что

Последнее нормировочное условие позволяет записать, что

где производная по направлению вектора

Рассмотрим сначала однородное граничное условие: при Построим функцию Грина в для рассматриваемой задачи. Пусть фундаментальное решение (4.1) уравнения Лапласа. При возьмем

где

Ясно, что функция гармонична по при Непосредственным вычислением проверяется, что

(Здесь N - оператор, действующий на функцию как на функцию переменных х при фиксированном у.) Таким образом, функция обладает нужными свойствами функции Грина задачи с граничным условием (6.63).

Выбор функции вида (6.62) объясняется следующими соображениями. Если искомая функция Грина, удовлетворяющая условию (6.63), то функция будет гармонической по и будет равна нулю при . Из принципа симметрии Шварца (задача 2.4) следует, что функция без сингулярности

регулярна в здесь мы воспользовались тем, что для учитывая стремление функции к нулю на бесконечности, в силу теоремы Лиувилля получаем

откуда

Интегрируя последнее равенство по от 0 до и пользуясь интегрированием по частям, получим

Это выражение для и приводит нас к равенству (6 62), имеющему место и при

Для получения оценок, аналогичных оценкам гл. 4 для ньютонова потенциала и для решений уравнений Пуассона, более детально ознакомимся со свойствами функции Полагая имеем

где (напомним, что

Видно, что функция регулярная функция своих аргументов, так как (в силу (6.61)) выполняется неравенство для всех следовательно, знаменатель подынтегрального выражения всюду не меньше положительного числа. Функция удовлетворяет соотношениям

Этих соотношений будет достаточно для перенесения на интеграл утверждения леммы 4.10, дающей оценку ньютонова потенциала. При в предыдущем рассуждении нужно заменить а на на Отметим, что поскольку постоянную С в неравенстве из (6.64) можно взять не зависящей от а.

Теорема 6.26. Пусть шары с центром в точке Предположим, что функция и удовлетворяет уравнению с правой частью и граничному условию на в котором а Тогда и

с постоянной

(Здесь через обозначается весовая норма, определенная формулами (4.6), в которых

Доказательство. Предположим, что непусто; в противном случае утверждение, очевидно, содержится в теореме 4.6. Предположим сначала, что Рассмотрим функцию

где

В силу (4.26) функция удовлетворяет оценке

Оценка функции по существу такая же, как и оценка для ньютонова потенциала в лемме 4.10. Пусть функция продолжена четным образом: Тогда для вторых производных функции имеет место оценка, аналогичная оценке (4.9). А, именно, для имеем

где единичная внешняя нормаль к . В силу (6.64) на рассматриваемый случай без существенных изменений переносятся рассуждения из доказательств лемм 4.4 и 4.10. В результате получается оценка

Объединяя это неравенство с (6.66), получаем

Если то в этой оценке величину надо заменить на

Для получения оценки для и введем срезающую функцию для Тогда

Если то и поэтому этом случае

Требуемая оценка (6.65) при следует теперь из (6.67), оценки

вытекающей из (2.14) и (6.64). В последней оценке производная может быть взята по обеим переменным и у.

Освободимся теперь от ограничения Для этого построим функцию удовлетворяющую условию Можно считать, что функция у так продолжена вне на всю плоскость что продолженная функция (обозначим ее также через принадлежит при (см. лемму 6.38). Взяв неотрицательную функцию такую, что определим

Легко убедиться, что и поэтому

Из соотношений

следует что Отметим также, что

где постоянная С зависит только от «и выбора Теперь мы можем осуществить редукцию рассматриваемого случая к случаю Полагая находим, что и в силу (6.69) имеет место равенство на Из (6.70) и доказанной оценки для мы получаем (6.65).

Заметим, что в общем случае при постоянная С из неравенства (6.65) неограниченно возрастает.

Следующая оценка является следствием предыдущей теоремы и формулируется без доказательства. Доказательство ее аналогично доказательству теоремы 4.8.

Лемма 6.27. Пусть открытое ограниченное множество в граница которого содержит плоский кусок расположенный на гиперплоскости Пусть функция и удовлетворяет в уравнению правой частью граничному условию в котором Тогда имеет место оценка

с постоянной

Рассуждая так же, как и при доказательстве леммы 6.1, можно доказать следующее утверждение для задачи с косой производной.

Лемма 6.28. Пусть выполнены условия леммы 6.27 и пусть функция и удовлетворяет уравнению (вместо уравнения ), где - оператор с постоянными коэффициентами, определенный в лемме 6.1. Тогда справедлива оценка

с постоянной

Переменные коэффициенты

Рассмотрим теперь уравнения с переменными коэффициентами и соответствующую задачу с косой производной в областях с криволинейными границами. Обобщения оценок шаудеровской теории на эти граничные условия получаются с помощью идей, изложенных в разделах 6.1 и 6.2. Докажем сначала аналог леммы 6.4.

Лемма 6.29. Пусть открытое ограниченное множество в граница которого содержит плоский кусок лежащий на гиперплоскости Пусть функция и является решением в уравнения (уравнение удовлетворяющим граничному условию

в котором — некоторая постоянная. Предположим, что оператор удовлетворяет (6.2) и выполнены условия

причем

Тогда

с постоянной

Доказательство. Прежде всего заметим, что без ограничения общности можно считать, что Действительно, если положить где то граничное условие (6.72) перейдет в условие на . В то же время уравнение преобразуется в уравнение для которого выполнены те же самые условия. Требуемая оценка (6.73), очевидно, эквивалентна аналогичной оценке для

Техника замораживания коэффициентов, использованная при доказательстве теоремы 6.2 и леммы 6.4, применима и в рассматриваемом случае. Но при этом она нуждается в некоторых поправках, порождаемых граничным условием (6.72). Пусть произвольные точки из

Предположим, что где . Пусть положительная постоянная (ее мы выберем позднее) и пусть Если то через обозначим проекцию

точки на Как и в теореме 6.2, запишем уравнение виде (6.15), а граничное условие (6.72) — в виде

Рассмотрим теперь в задачу с косой производной, порождаемую уравнением (6.15) и граничным условием (6.74), и будем рассматривать ее как задачу с постоянными коэффициентами. (При условие (6.74) отбрасывается.) В этом случае применимы рассуждения, аналогичные рассуждениям доказательства теоремы 6.2 и рассуждениям, приведенным в лемме 6.4, с заменой леммы 6.1 на лемму 6.28. На этом пути вместо (6.16) мы получим неравенство

Оценка слагаемых справа, кроме слагаемого аналогична оценкам, осуществляемым в теореме 6.2. Для оценки слагаемого заметим, что

Детали доказательств - такие же, как и при и мы не будем их здесь излагать. Объединяя последнюю оценку с оценкой других слагаемых в (6.75), мы придем к требуемой оценке (6.73).

Результат предыдущей леммы может быть обобщен на области с неплоской границей. Повторяя рассуждения доказательств леммы 6.5 и теоремы 6.6, мы получим следующую глобальную оценку решений задачи с косой производной.

Теорема 6.30. Пусть область в класса и пусть функция и является решением в уравнения удовлетворяет граничному условию

в котором нормальная компонента вектора отлична от нуля, причем

Предположим, что оператор удовлетворяет условию (6.2), причем

Тогда справедлива оценка

с постоянной

Замечания. 1. Условие (6.76) означает, что направление дифференцирования в нигде не является касательным к Это условие существенно в проведенных рассуждениях.

2. В формулировке теоремы удобно предполагать, и это не ограничивает общность, что функции определены глобально (и вне так что нормы определены для этих функций. В теореме 6.26 и в леммах 6.27 — 6.29, в которых имелся плоский кусок границы глобальное продолжение (, в лемме 6.29) не использовалось, поскольку нормы определяются естественно.

3. Тот факт, что в оценку (6.77) входит не является неожиданным, ибо в выражение входят первые производные функции и из Этот факт определенным образом контрастирует с глобальной оценкой (6.36) для задачи Дирихле, в которой требуется, чтобы

До сих пор мы занимались только оценками решений задачи с косой производной. Фактическое решение задачи для уравнения может быть методом непрерьюного продолжения по параметру (как в теореме 6.8) сведено к исследованию аналогичной задачи для уравнения Пуассона, однако теперь необходимо осуществлять непрерывное продолжение пары операторов — дифференциального оператора и граничного оператора Однозначная разрешимость задачи с косой производной при соответствующих ограничениях на операторы доказывается в следующей теореме.

Теорема 6.31. Пусть оператор строго эллиптичен в области класса его коэффициенты принадлежат Пусть - граничный оператор, заданный на такой, что , внешняя единичная нормаль к Предположим также, что Тогда для всех задача с косой производной

имеет единственное решение из

Доказательство. Без ограничения общности можно предполагать, что на что функции и 0 продолжены на всю область и принадлежат пространству Рассмотрим семейство задач

с параметром Ясно, что

тождественный оператор и что с некоторыми положительными постоянными выполняются неравенства

и

(через обозначены коэффициенты оператора ). Тогда как где положительные постоянные, то на

а величина будет ограничена постоянной, не зависящей от

Рассмотрим произвольное решение и задачи (6.79) (для некоторого значения ). Норма удовлетворяют неравенству (6.77) с постоянной С, не за зависящей от Если мы сумеем оценить через нормы у и то сможем получить оценку

справедливую для всех решений задачи (6.79) из

Для получения оценки нормы сделаем замену , где — фиксированная функция класса (не зависящая от удовлетворяющая условиям:

(iii) на где — постоянные. Такая функция может быть взята в виде если величина достаточно велика, а подходящие положительные постоянные. При замене рассматриваемая задача (6.79) преобразуете в задачу

Коэффициент при у в выражении равен и удовлетворяет неравенству Коэффициент , в выражении удовлетворяет неравенству Если наибольшее значение функции достигается в точке то где постоянная зависит от . С другой стороны, если и точка то или

или

- в обоих случаях имеет место неравенство Оценка (6.80) получается тогда из (6.77).

Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям из доказательства теоремы 6.8. Пусть банаховы пространства. Норму в введем равенством Рассмотрим оператор Разрешимость задачи (6.79) при произвольных следует из того, что отображение является взаимно однозначным отображением на Обозначим через решение этой задачи для заданных Это решение единственно (см. задачу 3.1). Из (6.80) следует оценка I к или, что эквивалентно,

причем постоянная С не зависит от Тот факт, что оператор обратим, является следствием разрешимости в третьей граничной задачи

(Этот результат можно найти в литературе по теории потенциала; см., например, [74].) Используя этот результат, с помощью (6.81) и метода непрерывного продолжения по параметру (теорема 5.2) мы получаем доказательство утверждения теоремы.

Если в условиях предыдущей теоремы не выполняется или условие или условие то единственности решения может не быть, но так же, как в теореме 6.25, справедлива альтернатива Фредгольма. Ее доказательство аналогично доказательству в теореме 6.25. Непосредственным следствием этой альтернативы является разрешимость задачи при выполнении условий причем или или так как при выполнении этих условий имеет место единственность.