ГЛАВА 9. СИЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

До сих пор в этой книге мы имели дело или со слабыми или с классическими решениями эллиптических уравнений второго порядка. Слабые решения дифференцируемы в слабом смысле лишь один раз, в то время как классические решения непрерьюно дифференцируемы в обычном смысле не менее двух раз. Рассмотрение слабых решений было естественно при изучении оператора L, имеющего дивергентную форму, в то время как рассмотрение классических решений имеет смысл при изучении

операторов с произвольными коэффициентами. В этой главе мы остановимся на рассмотрении промежуточной ситуации — на так называемых сильных решениях. Для операторов общего вида

с коэффициентами определенными в области и для функции определенной в сильным решением уравнения

называется дважды слабо дифференцируемая функция, определенная на удовлетворяющая уравнению (9.2) почти всюду в Достижение таким решением заданных на граничных значений в задаче Дирихле понимается в обобщенном смысле, как в гл. 8, или в классическом смысле, как в гл. 6, в которой рассматривались решения, непрерывные вплоть до границы. Ранее, с помощью теорем о регулярности из гл. 8, была доказана теорема существования (теорема 8.9) сильных решений, которые могут и не быть классическими. В этом случае граничные значения принимались в обобщенном смысле. Некоторые результаты раздела 8.10, в частности теорема 8.30, устанавливают условия, при которых граничные значения непрерывны.

Эту главу можно рассматривать как состоящую из двух частей. В первой части развивается теория решений из соболевских пространств аналогичная шаудеровской теории в пространствах Гёльдера Эта теория известна под названием L-теория. Используемые при этом оценки в для теории эллиптических уравнений важны сами по себе. Вторая часть содержит результаты, аналогичные результатам гл. 3 и 8 нашей книги о принципах максимума и локальных свойствах решений. Поточечные оценки, получаемые в разделе 9.7, играют важную роль во второй части книги, в частности при изучении в гл. 17 вполне нелинейных уравнений. При этом естественным пространством для рассматриваемых решений оказьюается соболевское пространство Объединение двух таких частей в одной главе облегчает создание весьма содержательной и интересной теории уравнений с решениями из