Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
9.5. Оценки в LpВ этом разделе мы получим внутренние и глобальные оценки вторых производных решений эллиптических уравнений вида (9.2). Используемая при этом техника возмущения операторов с постоянными коэффициентами аналогична той, которая была применена для получения шаудеровских оценок в разделах 6.1 и 6.2. Сначала рассмотрим внутренние оценки. Следующая теорема аналогична теореме 6.1. Теорема 9.11. Пусть
где
с постоянной С, зависящей от Доказательство. Для фиксированной точки
Применяя, как и в доказательстве леммы 6.1, линейное преобразование
с такой же, как в (9.33), постоянной
в силу (9.37) имеем
где Пусть
Полученное неравенство запишем в виде
Мы утверждаем, что полунормы
с произвольным инвариантно при растяжении координат, достаточно доказать его для случая Пусть
(в силу теоремы 7.28)
Устремляя Подставим теперь (9.39) в (9.38). Получим
где Если взять Чтобы распространить утверждение теоремы 9.11 вплоть до границы 812, рассмотрим сначала случай плоского куска границы. Пусть
Справедливо следующее обобщение следствия 9.10. Лемма 9.12. Пусть функция и
с постоянной Доказательство. Продолжим функции
для
Далее,
при Так как функция и имеет компактный носитель в При получении глобальной (вплоть до границы) оценки мы потребуем, чтобы граничные значения принимались в смысле С помощью результата леммы 9.12 мы получим теперь локальную граничную оценку. Теорема 9.13. Пусть
где постоянная С зависит от Доказательство. Так как
Как и в лемме 6.5, записывая
в области В. Здесь:
Ясно, что оператор
при
с постоянной Если в теореме 9.13 кусок Пусть
для всех: Доказательство. Рассмотрим
с постоянной
поэтому для достаточно больших значений о будет справедливо неравенство (9.44)
Отсюда в силу теоремы 9.13 получаем (9.43). Заметим, что при
|
1 |
Оглавление
|