9.5. Оценки в Lp

В этом разделе мы получим внутренние и глобальные оценки вторых производных решений эллиптических уравнений вида (9.2). Используемая при этом техника возмущения операторов с постоянными коэффициентами аналогична той, которая была применена для получения шаудеровских оценок в разделах 6.1 и 6.2. Сначала рассмотрим внутренние оценки. Следующая теорема аналогична теореме 6.1.

Теорема 9.11. Пусть открытое множество в а функция и является сильным решением уравнения причем коэффициенты оператора удовлетворяют условиям

где положительные постоянные, Тогда в любой области

с постоянной С, зависящей от и от модулей непрерывности коэффициентов в области

Доказательство. Для фиксированной точки обозначим через оператор с постоянными коэффициентами вида

Применяя, как и в доказательстве леммы 6.1, линейное преобразование мы для любой функции в силу следствия 9.10 получаем оценку

с такой же, как в (9.33), постоянной Таким образом, если функция имеет носитель, лежащий в шаре то, поскольку

в силу (9.37) имеем

где Так как матрица а равномерно непрерывна в то существует положительное число 5 такое, что при и поэтому при справедлива оценка с постоянной .

Пусть Введем срезающую функцию удовлетворяющую соотношениям: для если функция и удовлетворяет в уравнению и если и то при с постоянной Введем весовые полунормы

Полученное неравенство запишем в виде

Мы утверждаем, что полунормы удовлетворяют интерполяционному неравенству

с произвольным и постоянной Так как неравенство (9.39)

инвариантно при растяжении координат, достаточно доказать его для случая

Пусть Фиксируем такое, что

(в силу теоремы 7.28)

Устремляя , придем к (9.39).

Подставим теперь (9.39) в (9.38). Получим т.е.

где

Если взять и покрыть конечным числом шаров радиуса то придем к требуемой оценке (9.36).

Чтобы распространить утверждение теоремы 9.11 вплоть до границы 812, рассмотрим сначала случай плоского куска границы. Пусть

Справедливо следующее обобщение следствия 9.10.

Лемма 9.12. Пусть функция и удовлетворяет уравнению в слабом смысле в и равна нулю вблизи Пусть правая часть принадлежит Тогда и

с постоянной

Доказательство. Продолжим функции все полупространство полагая их равными нулю в а затем - на все пространство с помощью нечетного продолжения через плоскость т. е. положив

для Здесьх показать, что продолженная функция в слабом смысле удовлетворяет в уравнению Действительно, возьмем произвольную пробную функцию и любое пусть такая принадлежащая четная функция, что для для Тогда -

Далее,

при Устремляя получаем равенство — означающее, что функция является слабым решением уравнения

Так как функция и имеет компактный носитель в то осреднение принадлежит и удовлетворяет уравнению Следовательно, в силу леммы 7.2 и следствия при более того, функция и удовлетворяет оценке (9.33). Отсюда следует оценка (9.42) с постоянной, вдвое большей постоянной из оценки (9.33). Так как то мы получили также, что и .

При получении глобальной (вплоть до границы) оценки мы потребуем, чтобы граничные значения принимались в смысле Пусть - кусок границы будем говорить, что функция и равна нулю на в смысле если она является пределом в последовательности функций из равных нулю вблизи При это определение совпадает с определением из раздела 8.10, а когда функция и непрерывна на из данного определения следует, что функция и обращается на в нуль в обычном поточечном смысле.

С помощью результата леммы 9.12 мы получим теперь локальную граничную оценку.

Теорема 9.13. Пусть область в на границе которой расположен кусок класса Пусть функция и является сильным решением уравнения равным нулю на в смысле и пусть оператор удовлетворяет условиям причем . Тогда для любой области

где постоянная С зависит от и модулей непрерывности коэффициентов

Доказательство. Так как то для каждой точки существуют окрестность и диффеоморфизм из на единичный шар такие, что

Как и в лемме 6.5, записывая получаем уравнение

в области В. Здесь:

Ясно, что оператор удовлетворяет условиям, аналогичным условиям (9.35), с постоянными зависящими от Более того, и 0 на в смысле Далее поступаем так же, как и в доказательстве теоремы 9.11, заменив шар на полушар и используя лемму 9.12 вместо следствия 9.10. Получим оценку

при с постоянной С, зависящей от причем постоянная зависит от модулей непрерывности в точке а также от Взяв и область возвращаясь к исходным координатам, получим

с постоянной Покрывая конечным числом таких окрестностей и используя внутреннюю оценку (9.36), мы придем к требуемой оценке (9.42).

Если в теореме 9.13 кусок совпадает с то мы можем взять и получим глобальную оценку в На самом деле справедливо более сильное утверждение.

Пусть область в класса Предположим, что оператор удовлетворяет условиям (9.35), причем Тогда если и

для всех: где положительные постоянные, зависящие только и модулей непрерывности коэффициентов.

Доказательство. Рассмотрим область и оператор определенный формулой для Если функция и (12), то функция и, определенная равенством принадлежит и равна нулю на в смысле Кроме того, Поэтому в сипу теоремы 9.13, примененной в где получаем

с постоянной зависящей от величин, перечисленных в формулировке теоремы. Взяв теперь приходим к неравенству

поэтому для достаточно больших значений о будет справедливо неравенство (9.44)

Отсюда в силу теоремы 9.13 получаем (9.43).

Заметим, что при теорема 9.14 непосредственно следует из теорем 9.1 и 9.13. В методе гильбертова пространства, рассмотренном в гл. 8, аналогом теоремы 9.14 является лемма 8.4. Случай в действительности можно рассмотреть на основе леммы 8.4. Отметим также, что, используя в доказательствах теорем 9.12, 9.13 и 9.14 теорему вложения Соболева (см., в частности, следствие 7.1), можно ослабить условия на младшие члены оператора где при