7.10. Теоремы о компактности

Пусть банахово пространство непрерывно вложено в банахово пространство Будем говорить, что компактно вложено в если оператор вложения компактен, т. е. если образ любого ограниченного в множества является предкомпактным множеством в 53 2.

Сейчас мы для пространств докажем теорему о компактности Кондрашова.

Теорема 7.22. Пространство компактно вложено в пространство при любом если в пространство если

Доказательство. Утверждение (ii) является следствием теоремы Морри (теорема 7.17) и теоремы Арцела о равностепенно непрерывных семействах функций. Остановимся на утверждении (i) и докажем сначала его для случая Пусть ограниченное множество в Без ограничения общности можно считать, что и что Для всех и Для определим множество и из осреднений функций и (см. формулу (7.13)). Покажем, что множество является предкомпактным в Для имеем

и

Поэтому множество является ограниченным равностепенно непрерывным подмножеством и в силу теоремы Арцела будет предкомпактным в Следовательно, оно также предкомпактно в Для справедлива следующая оценка:

Интегрируя ее по х, получаем оценку

Следовательно, равномерно (по из А) близко к . А так как, как мы показали выше, при каждом множество вполне ограничено в то отсюда вытекает полная ограниченность множества А. Тем самым в случае утверждение установлено.

Для распространения результата на случай произвольного оценим в силу (7.9) и теоремы 7.10

где Таким образом, и при ограниченное в множество является предкомпактным в Теорема доказана.

Несложное обобщение теоремы 7.22 показьюает, что вложения

компактны и что для некоторых классов областей пространство заменить на ; см. теорему 7.26, задачу 7.14.