2.6. Теоремы о сходимости

В этом разделе мы отметим некоторые непосредственные следствия интегральной формулы Пуассона. Три следующие теоремы не будут, однако, нужны для дальнейших рассмотрений.

Прежде всего мы покажем, что гармонические функции могут быть охарактеризованы их свойством среднего.

Теорема 2.7. Непрерывная в области 12 функция и гармонична в этой области тогда и только тогда, когда для любого шара выполняется свойство среднего

Доказательство. По теореме 2.6 для любого шара существует такая гармоническая в В функция что на Разность является функцией, удовлетворяющей свойству среднего для любого лежащего в В шара. Следовательно, к функции применимы принцип максимума и результаты о единственности — теоремы 2.2, 2.3 и 2.4, поскольку их обоснование использует только свойство среднего. Поэтому в и, следовательно, функция и обязана быть гармонической в

Немедленным следствием предыдущей теоремы является следующее утверждение.

Теорема 2.8. Предел равномерно сходящейся последовательности гармонических функций является гармонической функцией.

Из теоремы 2.8 следует, что если последовательность гармонических в ограниченной области функций с непрерывными граничными значениями которые сходятся равномерно на к функции то последовательность сходится равномерно (в силу принципа максимума) к гармонической в 12 функции, принимающей граничные значения на . С помощью неравенства Харнака — теорема 2.5 — мы можем также получить из теоремы 2.8 теорему Харнака о сходимости.

Теорема 2.9. Пусть монотонно неубывающая последовательность гармонических в области 12 функций. Предположим, что для некоторой точки , последовательность ограничена. Тогда последовательность равномерно на любой ограниченной подобласти сходится к гармонической функции.

Доказательство. Последовательность сходится, т.е. для любого существует номер такой, что для всех Но тогда в силу теоремы 2.5 с некоторой постоянной С, зависящей от и . Следовательно, последовательность сходится равномерно, и согласно теореме 2.8 ее предел является гармонической функцией.