8.6 Локальные свойства слабых решений

Перейдем к изучению локального поведения решений. Пусть - матрица Дополнительно к структурным неравенствам (8.31) и (8.33) введем условие вида

Поделив уравнение (8.3) на постоянную мы можем считать, что в структурном неравенстве постоянная X равна 2. Запишем все получившиеся неравенства:

Величины определены в (8.32) с а число любое из (0, 1]. Для получения локальных результатов введем величину к:

где Докажем локальный аналог теоремы 8.15.

Теорема 8.17. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что для некоторого Тогда если функция и является субрешением (суперрешением) из уравнения (8.3) в то в любом шаре для любого справедливо неравенство

с постоянной

Основным результатом, на котором основываются изучение локальных свойств решений и последующая нелинейная теория, является слабое неравенство Харнака для суперрешений.

Теорема 8.18. Пусть оператор удовлетворяет (8.5) и (8.6). Предположим, что с некоторым Тогда если функция и является суперрешением в уравнения (8.3), принадлежащим и если функция и неотрицательна в шаре то при справедливо неравенство

с постоянной

Далее центр - точка у - фиксируется. Шар будем коротко обозначать через дня любого

В случае, когда и - ограниченное неотрицательное субрешение, можно доказывать теоремы 8.17 и 8.18 одновременно. Полное доказательство теоремы 8.17 может быть получено с помощью варьирования используемых пробных функций. Существо этого подхода было продемонстрировано

ранее в доказательстве теоремы 8.15. Изменения, необходимые для проведения доказательства, предоставляем сделать читателю. Грубо говоря, схема одновременного доказательства получается объединением итерационной техники Мозера (см. [210]), описанной в предыдущем разделе, и теоремы Джона — Ниренберга (теорема 7.21), позволяющей перекинуть мост в решающем месте проводимых итераций. Пробные функции вновь берутся в виде степенных функций, но для доказательства теоремы 8.18 необходимо, чтобы показатели степеней принимали всевозможные, как положительные, так и отрицательные, значения. Перейдем к детальному доказательству теоремы 8.18.

Предположим, что Общий случай сводится к этому случаю простой заменой координат Пусть функция неотрицательна. Возьмем пробную функцию в виде

В силу цепного правила и правила дифференцирования произведения имеем

причем функция является допустимой для подстановки в (8.30) в качестве пробной функции. Подставляя в (8.30), получаем выражение

Это выражение неположительно, если - субрешение, и неотрицательно, если — суперрешение. Используя структурные неравенства (8.44), для любого получаем

Далее мы полагаем, что если - субрешение, и если и суперрешение. Взяв , из (8.50) и (8.51) получаем неравенство

в котором постоянная не превосходит величины, зависящей

только от при Введем функцию

Полагая неравенство (8.52) можно записать в виде

Итерационный процесс осуществляется на основе первого неравенства из (8.53). По неравенству Соболева (7.26) имеем

где при любое число, удовлетворяющее неравенствам при Постоянная в полученномнеравенстве зависит только от Используя неравенство Гёльдера (7.7) и затем неравенство (7.10), для любого получаем

где Подставляя полученное неравенство в неравенство (8.53) и подбирая соответствующее получим

где . Эта постоянная ограничена величиной, зависящей от при Введем срезающую функцию Пусть числа таковы, что и пусть в - причем Пусть Из (8.54) вытекает, что

Для введем функционал

Имеем (см. задачу 7.1):

и

Неравенство (8.55) можно записать в виде

Итерирование этих неравенств и приводит к требуемым оценкам. Например, если — субрешение, то . Беря мы можем взять . В силу неравенства (8.57) получим

Устремляя здесь придем к неравенству

К оценке (8.46) мы придем, осуществив преобразование

Если и — суперрешение, то Мы можем поступить аналогичным способом и для любых удовлетворяющих неравенствам получить неравенства

Утверждение теоремы 8.18 будет доказано, если мы докажем, что при некотором выполнено неравенство

Чтобы доказать это неравенство, воспользуемся вторым неравенством из (8.53). Пусть произвольный шар радиуса лежащий в Возьмем срезающую функцию так, что . С помощью неравенства Гёльдера (7.7) из (8.53) следует, что

Отсюда, по теореме 7.21, заключаем, что существует такая постоянная зависящая только от что будет иметь место неравенство где Отсюда получаем

Подставив сюда выражение для функции мы приходим к оценке (8.60), что и доказывает теорему 8.18 при Остается сделать преобразование и устремить к

Сильный принцип максимума для субрешений уравнения неравенство Харнака для решений уравнения локальная непрерывность по Гёльдеру решений уравнения (8.3) — все эти факты могут быть получены в качестве следствия слабого неравенства Харнака. Мы вскоре докажем эти интересные локальные утверждения.