Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8.6 Локальные свойства слабых решенийПерейдем к изучению локального поведения решений. Пусть
Поделив уравнение (8.3) на постоянную
Величины
где Теорема 8.17. Пусть оператор
с постоянной Основным результатом, на котором основываются изучение локальных свойств решений и последующая нелинейная теория, является слабое неравенство Харнака для суперрешений. Теорема 8.18. Пусть оператор
с постоянной Далее центр - точка у - фиксируется. Шар В случае, когда и - ограниченное неотрицательное субрешение, можно доказывать теоремы 8.17 и 8.18 одновременно. Полное доказательство теоремы 8.17 может быть получено с помощью варьирования используемых пробных функций. Существо этого подхода было продемонстрировано ранее в доказательстве теоремы 8.15. Изменения, необходимые для проведения доказательства, предоставляем сделать читателю. Грубо говоря, схема одновременного доказательства получается объединением итерационной техники Мозера (см. [210]), описанной в предыдущем разделе, и теоремы Джона — Ниренберга (теорема 7.21), позволяющей перекинуть мост в решающем месте проводимых итераций. Пробные функции вновь берутся в виде степенных функций, но для доказательства теоремы 8.18 необходимо, чтобы показатели степеней принимали всевозможные, как положительные, так и отрицательные, значения. Перейдем к детальному доказательству теоремы 8.18. Предположим, что
В силу цепного правила и правила дифференцирования произведения имеем
причем функция
Это выражение неположительно, если
Далее мы полагаем, что
в котором постоянная только от
Полагая
Итерационный процесс осуществляется на основе первого неравенства из (8.53). По неравенству Соболева (7.26) имеем
где
где
где
Для
Имеем (см. задачу 7.1):
и
Неравенство (8.55) можно записать в виде
Итерирование этих неравенств и приводит к требуемым оценкам. Например, если
Устремляя здесь
К оценке (8.46) мы придем, осуществив преобразование Если и — суперрешение, то
Утверждение теоремы 8.18 будет доказано, если мы докажем, что при некотором
Чтобы доказать это неравенство, воспользуемся вторым неравенством из (8.53). Пусть
Отсюда, по теореме 7.21, заключаем, что существует такая постоянная
Подставив сюда выражение для функции Сильный принцип максимума для субрешений уравнения
|
1 |
Оглавление
|