14.4. Результаты о несуществовании

Мы изложим здесь некоторые результаты о неразрешимости, показывающие, что многие из условий в теоремах предыдущего раздела не могут быть заметно ослаблены. Так как класс уравнений, рассматриваемых в этом разделе, включает уравнения, для которых этапы I и III процедуры доказательства существования, описанной в гл. 11, были обоснованы ранее, то неразрешимость задачи Дирихле в этих случаях связана с отсутствием граничной оценки градиента. В действительности несуществование такой оценки для этих уравнений может быть показано непосредственно с помощью техники, аналогичной той, которая используется далее. Основным инструментом излагаемого метода получения результатов о неразрешимости является следующий вариант принципа сравнения, теорема

Теорема 14.10. Пусть ограниченная область в открытый кусок класса Пусть эллиптический оператор вида (14.2) и пусть функции удовлетворяют неравенствам на и равенству на Тогда и

Доказательство. В силу теоремы 10.1 имеем Так как на

то функция не достигает максимального значения на Следовательно, и на

Чтобы использовать теоремы 14.10, зафиксируем точку , числа и рассмотрим функцию определенную равенством

где , а функция такова, что Используя (14.8), получаем для

причем аргументами у величин являются Подберем функцию таким образом, чтобы в области где некоторая постоянная, выполнялось неравенство Если это сделано, то, учитьюая, что теореме 14.10 получим неравенство

где Оценку (14.63) можно рассматривать как предварительную.

Рассмотрим два различных случая.

(i) Пусть сначала

для где - положительные постоянные. Тогда, полагая

где для достаточно большого значения К получаем, что Следовательно, в рассматриваемом случае имеет место оценка (14.63).

(ii) Пусть теперь

для где и положительные постоянные. Тогда, взяв

имеем в

Вновь получается оценка (14.63). Заметим, что функция определенная равенством (14.67), удовлетворяет равенству

Предположим, что область удовлетворяет условию внутренней сферы в точке у. Это значит, что существует шар такой, что , Рассмотрим функцию определенную равенством

где функция . В силу (14.62) для имеем

Наложим теперь более сильное, нежели (14.64), условие, а именно предположим, что

для Тогда, полагая

для достаточно больших получим, что в области

вьшолняется неравенство Следовательно, в силу теоремы 14.10

где Объединяя оценки и (14.63) для случая и устремляя к нулю, в итоге получаем оценку

где постоянная К зависит от и от Оценка (14.73) показывает, что на значения функции и не могут задаваться произвола образом. Так как рассуждения, проведенные выше, могут быть повторены с заменой и на - и, структурное условие (14.70) можно ослабить и потребовать, чтобы

для Таким образом, нами доказан следующий результат о неразрешимости.

Теорема 14.11. Пусть ограниченная область в Предположим, что оператор удовлетворяет структурному условию (14.74), в котором радиус наибольшего шара, вложенного в Тогда существует функция задача Дирихле на

Теорема 14.11 показьюает, что результаты обеих теорем 14.1 и 14.4 точны в том смысле, что величины в структурных условиях (14.9), (14.30) не могут быть заменены на с некоторым (даже если оператор является лапласианом!). Кроме того, в следствии 14.5 нельзя не заменить (14.32) условием при Ни заменить во втором неравенстве в на с некоторым

Продемонстрируем в случае (ii), рассмотренном выше, необходимость геометрических условий раздела 14.3, Предположим, что выполнено разложение (14.43) с функцией не зависящей от и с непрерывными на функциями Пусть выполнено структурное условие (14.59). Дополнительно предположим, что оператор удовлетворяет структурным условиям

для где в и положительные постоянные. Легко проверить, что из условий (14.43), (14-59), (14.75) вытекает справедливость условий (14.66) для с некоторой постоянной и постоянной отличной, быть может, от постоянной в (14.75). Кроме этого, поскольку из (14.75) следует, в силу классического принципа максимума (теорема 3.1), что

то мы можем считать далее, что неравенство (14.66) применимы в и что в величины из (14.59) оцениваются через Предположим теперь, что и что

где функция определена в единичная внутренняя нормаль к в точке у. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям доказательства теоремы 14.11, при этом сфера с центром заменяется на другую поверхность второго порядка. Действительно, из условия (14.77) следует, что для достаточно малого а существует поверхность второго порядка, касающаяся в точке у и такая, что:

(i) однозначно проецируется на касательную в точке плоскость

(iii) кривизна поверхности удовлетворяет неравенству

с некоторым Рассмотрим функцию определенную равенством

где а функция такова, что В силу (14,40) в области

имеем

(в силу (14.59) и (14.78))

в силу (14.75). Полагая

где , для достаточно больших К получаем в неравенство Следовательно, в силу теоремы 14.10 получаем

где Объединяя оценки и устремляя в итоге получаем оценку

где функция определена формулой (14.67) и Оценка (14.82) вновь показывает, что на нельзя функцию и задавать произвольным образом. Точность теоремы 14.6 демонстрирует следующий результат о неразрешимости.

Теорема 14.12. Пусть ограниченная область в класса Предположим, что оператор удовлетворяет структурным условиям (14.43), (14.59) и (14.75). Тогда если в некоторой точке , выполнено неравенство

то существует функция такая, что задача Дирихле на неразрешима.

Заменив в предыдущих рассмотрениях на , мы получим аналогичный результат, но при этом неравенство (14.83) заменяется на неравенство

а в структурном условии заменяется на Итак, если в (14.76) то можно брать сколь угодно малым. В частности, для уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (14.56), в котором получаем следующий результат.

Следствие 14.13. Пусть ограниченная область в класса Предположим, что в некоторой точке , средняя кривизна границы такова, что

где функция неположительна, или неотрицательна в Тогда для любого существует функция такая, что и задача Дирихле неразрешима.

Объединяя следствия 14.8 и 14.13 с проведенным ранее исследованием разрешимости для специального случая (11.7) в разделе 11.3, получаем следующий точный критерий Дженкинса и Серрина разрешимости уравнения минимальных поверхностей [82].

Теорема 14.14. Пусть ограниченная область в класса Тогда задача Дирихле на разрешима для произвольной функции тогда и только тогда, тогда средняя кривизна границы неотрицательна в любой точке

Уравнение поверхностей с заданной средней кривизной будет изучаться в гл. 16. Отметим здесь, что в теореме 14.12 условие независимости от z может быть отброшено. Поэтому условие (14.85) в следствии 14.13 можно заменить условием

(см. задачу 14.5). Представляет интерес сравнить результаты этого раздела с теоремами существования раздела 15.5 из следующей главы.