следствия 3.2 неравенство 
выполняется в 
Аналог этого принципа сравнения для квазилинейных операторов имеет следующий вид.
Теорема 10.1. Пусть функции 
удовлетворяют неравенствам 
на 
и пусть выполнены условия:
(i) оператор 
локально равномерно эллиптичен на функции и или на функции v;
(ii) коэффициенты 
не зависят от z;
(iii) коэффициент 
является неубывающей функцией аргумента z в каждой точке 
;
(iv) коэффициенты 
и 
являются непрерывно дифференцируемыми функциями переменных 
Тогда в 
справедливо неравенство и 
Кроме того, если 
на 
и если выполняются условия 
(не требуется выполнение условия 
то в 
имеет место строгое неравенство 
Доказательство. Предположим, что оператор 
эллиптичен на функции и. Так как
то, записывая
получаем неравенство
на 
и неравенство 
на 
Заметим, что существование локально ограниченных функций 
следует из условия (iv) и теоремы о среднем. Таким образом, используя условия 
и теорему 3.1, получаем, что 
Если 
то функция 
не может иметь неотрицательный максимум (см. доказательство теоремы 3.1). Поэтому 
Если оператор 
эллиптичен на функции 
то требуемый результат следует из принципа максимума для суперрешений.
Из теоремы 10.1 непосредственно следует теорема единственности решения задачи Дирихле для квазилинейных уравнений.
Теорема 10.2. Пусть функции 
удовлетворяют равенствам 
на 
Предположим также, что выполнены условия 
теоремы 10.1. Тогда 
Может показаться, что условие (ii) в формулировках теорем 10.1 и 10.2 не является необходимым. Однако это не так: далее мы покажем, что в случае, когда старшие коэффициенты зависят от 
утверждения теорем 10.1 и 10.2 могут не иметь места. Принцип сравнения (теорема 10.1) будет полезен при получении оценок градиента в гл. 13.
Если вместо следствия 3.2 воспользоваться принципом максимума для сильных решений (теорема 9.1), можно показать, что утверждения теорем 10.1 и 10.2 остаются в силе для функций 
линейный оператор, удовлетворяющий условиям слабого принципа максимума (следствие 3.2), а функции и, и 
удовлетворяют неравенствам 
на 
. Тогда в силу