8.11. Оценки Гёльдера первых производных

Если старшие коэффициенты уравнения (8.3) непрерывны по Гельдеру, то исследование проблем существования и регулярности может быть осуществлено по примеру теории Шаудера, изложенной в гл. 6, и приводит к аналогичным результатам. Отправной точкой вновь является уравнение Пуассона вида

Если функции и если с некоторым показателем то нетрудно проверить, что ньютонов потенциал правой части, определенный формулой

является слабым решением уравнения (8.82), и следовательно, можно применить оценки раздела 4.5 к этому слабому решению уравнения (8.82) (см. задачу 7.20). В частности, отметим внутренние и граничные оценки (4.45) и (4.46). Из леммы 6.1 следует, что такие же оценки справедливы и для слабых решений уравнения

где эллиптический оператор с постоянными коэффициентами.

Применим технику возмущения, изложенную в разделе 6.10, к изучению уравнения

где оператор вида (8.1). Заморозим коэффициенты в

произвольной точке и перепишем уравнение в виде

где

Полученное уравнение для фиксированной точки имеет вид (8.82), если взять

Предположим, что оператор строго эллиптичен, удовлетворяет условию (8.5) и что Пусть

Докажем следующие внутренние и глобальные оценки.

Теорема 8.32. Пусть функция слабое решение уравнения (8.83) в ограниченной области Тогда для любой подобласти справедливо неравенство

с постоянной величина X определена неравенством (8.5), величина К - постоянная из (8.85), а

Теорема 8.33. Пусть функция и является слабым решением (8.83) в области класса удовлетворяет равенству на где Тогда

с постоянной Постоянные определены выше (теорема 8.32).

Доказательство этих результатов по существу совпадает с доказательством утверждений теорем 6.1 и 6.6, но при этом надо для уравнения (8.84) использовать оценки (4.45) и (4.46). Отметим, что для доказательства оценки (8.87) с помощью граничной оценки (4.46) потребуется предварительное выпрямление границы. Так как условия, накладываемые на уравнение (8.83), инвариантны при преобразованиях класса достаточно, чтобы область принадлежала классу и поэтому теорема 8.33 справедлива для областей и граничных значений из таких же классов. Зависимость постоянной С из (8.87) от границы проявляется в виде зависимости от -норм Гёльдера функций, осуществляющих выпрямление границы.

Глобальная оценка теоремы 8.33 непосредственно приводит к основной теореме существования для уравнения (8.83).

Теорема 8.34. Пусть область класса оператор, удовлетворяющий условиям (8.5), (8.6) и (8.85) с постоянной Пусть

Тогда обобщенная задача Дирихле

однозначно разрешима в

Доказательство. Применим метод аппроксимации. Пусть последовательность операторов с достаточно гладкими (например, принадлежащими коэффициентами такими, что равномерно в при . Можно считать, что аппроксимирующие коэффициенты удовлетворяют условиям (8.5), (8.8) и (8.85). Пусть дополнительно и пусть при к причем причем причем Наконец, пусть последовательность областей класса исчерпывающих область таких, что и поверхности равномерно принадлежат (см. задачу 6.9).

При выполнении этих условий гладкая аппроксимирующая задача Дирихле

имеет единственное решение из , удовлетворяющее оценке (8.87). Так как в силу теоремы 8.16

то мы приходим к равномерной в оценке вида

с постоянной С, не зависящей от к. Устремляя к 00 в интегральном тождестве, соответствующем уравнению (8.83), мы получим, что существует единственный предел и последовательности являющийся слабым решением уравнения (8.88). Это решение будет удовлетворять также неравенству (8.90). Построенное решение единственно и в более широком классе функций - в классе функций удовлетворяющих условию , (см. теорему 8.1).

Оценка (8.87), доказанная для слабых решений класса может быть доказана и для решений класса при выполнении тех же самых условий. Пусть функции и является решением уравнения (8.83), выполнены условия теоремы 8.33, , Тогда функция и ограничена (в силу теоремы 8.16) и существует достаточно большая положительная постоянная о такая, что функция и совпадает с единственным решением и из обобщенной задачи Дирихле

Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Следствие 8.35. При выполнении условий теоремы 8.33 для функции и такой, что справедлива оценка (8.87).

(Напомним, что в условиях теоремы 8.33 функция и является слабым решением уравнения 8.83.)

Локальная принадлежность может быть установлена и с помощью аппроксимации решения и гладкими функциями. Справедливо следующее обобщение следствия 8.35, доказательство которого мы оставляем читателю.

Следствие 8.36. Пусть кусок (быть может, пустой) класса лежащий на границе области Предположим, что функция и является слабым решением уравнения (8.33), обращающемся в нуль на Те смысле Тогда функция и принадлежит и для произвольной имеет место оценка

с постоянной . Постоянные те же, что и в теореме 8.32. Здесь

Если предположить, что и функция и равна на в смысле то в правую часть оценки (8.91) следует вставить Последнее очевидным образом следует из (8.91) с помощью замены и на

Замечание. Результаты этого раздела остаются в силе, если предполагать, что При этом норму надо заменить нормой Доказательства соответствующих результатов по существу те же самые, что и рассмотренные выше (см. замечание в конце раздела 4.5).