Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8.11. Оценки Гёльдера первых производныхЕсли старшие коэффициенты уравнения (8.3) непрерывны по Гельдеру, то исследование проблем существования и регулярности может быть осуществлено по примеру теории Шаудера, изложенной в гл. 6, и приводит к аналогичным результатам. Отправной точкой вновь является уравнение Пуассона вида
Если функции
является слабым решением уравнения (8.82), и следовательно, можно применить оценки раздела 4.5 к этому слабому решению уравнения (8.82) (см. задачу 7.20). В частности, отметим внутренние и граничные оценки (4.45) и (4.46). Из леммы 6.1 следует, что такие же оценки справедливы и для слабых решений уравнения
где Применим технику возмущения, изложенную в разделе 6.10, к изучению уравнения
где произвольной точке
где
Полученное уравнение для фиксированной точки Предположим, что оператор
Докажем следующие внутренние и глобальные оценки. Теорема 8.32. Пусть функция
с постоянной Теорема 8.33. Пусть функция и
с постоянной Доказательство этих результатов по существу совпадает с доказательством утверждений теорем 6.1 и 6.6, но при этом надо для уравнения (8.84) использовать оценки (4.45) и (4.46). Отметим, что для доказательства оценки (8.87) с помощью граничной оценки (4.46) потребуется предварительное выпрямление границы. Так как условия, накладываемые на уравнение (8.83), инвариантны при преобразованиях класса Глобальная оценка теоремы 8.33 непосредственно приводит к основной теореме существования для уравнения (8.83). Теорема 8.34. Пусть
однозначно разрешима в Доказательство. Применим метод аппроксимации. Пусть При выполнении этих условий гладкая аппроксимирующая задача Дирихле
имеет единственное решение из
то мы приходим к равномерной в
с постоянной С, не зависящей от к. Устремляя к 00 в интегральном тождестве, соответствующем уравнению (8.83), мы получим, что существует единственный предел и последовательности Оценка (8.87), доказанная для слабых решений класса
Следовательно, справедливо следующее утверждение. Следствие 8.35. При выполнении условий теоремы 8.33 для функции и (Напомним, что в условиях теоремы 8.33 функция и является слабым решением уравнения 8.83.) Локальная принадлежность Следствие 8.36. Пусть
с постоянной Если предположить, что Замечание. Результаты этого раздела остаются в силе, если предполагать, что
|
1 |
Оглавление
|