2.5. Интеграл Пуассона
В случае, когда 12 есть шар, функция Грйна может быть построена методом отражения. Это приводит к хорошо известному интегральному представлению Пуассона гармонической функции в шаре. А именно, пусть
и пусть для
есть точка, получаемая инверсией точки х относительно
если
то положим
Тогда, как легко видеть, функция Грина для
задается равенствами
Функция,
определенная формулой (2.23), обладает следующими свойствами:
Кроме того, непосредственное вычисление показьюает, что для
нормальная производная
задается формулой
Следовательно, если функция и
гармонична, то в силу (2.21) справедлива интегральная формула Пуассона
Правая часть этой формулы называется интегралом Пуассона функции и. С помощью аппроксимации можно показать, что интегральная формула Пуассона остается верной и для и
Заметим, что при
, получаем теорему о среднем для гармонической функции. И вообще, все предыдущие теоремы этой главы могут быть получены как следствия представления (2.21) с
Для доказательства существования решения классической задачи Дирихле в шаре нам потребуется обратное утверждение, которое мы сейчас и докажем.
Теорема 2.6. Пусть
непрерывная на
функция. Тогда функция и, определенная равенствами
принадлежит
и удовлетворяет уравнению
.
Доказательство. Гармоничность в В определенной равенствами (2.27) функции и, очевидно, следует из того, что
а потому и
гармоничны по
это можно проверить непосредственным вычислением. Для доказательства непрерывности и вплоть до границы
мы применим формулу Пуассона (2.26) к специальному случаю
Получим тождество
где К — ядро Пуассона,
Разумеется, интеграл в (2.28) может быть вычислен непосредственно, однако эти вычисления довольно громоздки. Пусть теперь
а
произвольное положительное число. Выберем
так, что
для
пусть
на
Тогда если
то из (2.27) и (2.28) имеем
Отсюда следует, что если взять расстояние
достаточно малым, то
Следовательно, и непрерывна в точке
Итак, и
что и требовалось доказать.
Подчеркнем, что приведенные рассуждения локальны, т.е. если только ограничена и интегрируема по
и непрерывна в точке
то
при