2.5. Интеграл Пуассона
В случае, когда 12 есть шар, функция Грйна может быть построена методом отражения. Это приводит к хорошо известному интегральному представлению Пуассона гармонической функции в шаре. А именно, пусть 
и пусть для 
есть точка, получаемая инверсией точки х относительно 
если 
то положим 
Тогда, как легко видеть, функция Грина для 
задается равенствами
Функция, 
определенная формулой (2.23), обладает следующими свойствами:
Кроме того, непосредственное вычисление показьюает, что для 
нормальная производная 
задается формулой
Следовательно, если функция и 
гармонична, то в силу (2.21) справедлива интегральная формула Пуассона
Правая часть этой формулы называется интегралом Пуассона функции и. С помощью аппроксимации можно показать, что интегральная формула Пуассона остается верной и для и 
Заметим, что при 
, получаем теорему о среднем для гармонической функции. И вообще, все предыдущие теоремы этой главы могут быть получены как следствия представления (2.21) с 
Для доказательства существования решения классической задачи Дирихле в шаре нам потребуется обратное утверждение, которое мы сейчас и докажем.
Теорема 2.6. Пусть 
непрерывная на 
функция. Тогда функция и, определенная равенствами
принадлежит 
и удовлетворяет уравнению 
.
Доказательство. Гармоничность в В определенной равенствами (2.27) функции и, очевидно, следует из того, что 
а потому и 
гармоничны по 
это можно проверить непосредственным вычислением. Для доказательства непрерывности и вплоть до границы 
мы применим формулу Пуассона (2.26) к специальному случаю 
Получим тождество
где К — ядро Пуассона,
Разумеется, интеграл в (2.28) может быть вычислен непосредственно, однако эти вычисления довольно громоздки. Пусть теперь 
а 
произвольное положительное число. Выберем 
так, что 
для 
пусть 
на 
Тогда если 
то из (2.27) и (2.28) имеем
Отсюда следует, что если взять расстояние 
достаточно малым, то 
Следовательно, и непрерывна в точке 
Итак, и 
что и требовалось доказать. 
Подчеркнем, что приведенные рассуждения локальны, т.е. если только ограничена и интегрируема по 
и непрерывна в точке 
то 
при 
