Главная > Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

12.2. Оценки Гёльдера градиента решения для линейных уравнений

Применим результаты предыдущего раздела для получения внутренних оценок Гёльдера первых производных решений равномерно эллиптических уравнений

с коэффициентами определенными в области -плоскости, Пусть минимальное и соответственно максимальное собственные значения матрицы коэффициентов, так что

Предположим, что оператор равномерно эллиптичен в

с некоторой постоянной Предположим также, что

Разделив уравнение (12.15) на минимальное значение X, можем считать, что и поэтому неравенства (12.16) выполняются с кроме того, Далее предполагаем, что

Полагая можем записать уравнение (12.15) в виде системы

Формально дифференцируя, убеждаемся, что функция является решением (в слабом смысле) равномерно эллиптического уравнения дивергентного вида

Аналогичное уравнение имеет место и для (см. доказательство теоремы 11.5). Оценки Гёльдера дляр и , которые устанавливаются в этом разделе, можно получить с помощью методов, развитых в гл. 8 для уравнений дивергентного вида. При детали соответствующих доказательств не очень сильно отличаются от рассматриваемых здесь доказательств, использующих свойства квазиконформных отображений.

Умножая левую часть (12.8) на функцию получаем

и аналогично

Складьюая эти неравенства и замечая, что получаем

Используя неравенство

и полагая из (12.19) получаем

Следовательно, функция определяет квазиконформное отображение, удовлетворяющеее неравенству (12.2) с постоянными

Выбирая число достаточно малым, мы можем постоянную К сделать сколь угодно близкой к

Если то из (12.16) и (12.17) следует неравенство

В этом случае отображение является -квазиконформным с постоянной Несложное, но более тщательное вычисление показывает, что наименьшая постоянная квазиконформности не превышает (см. задачу , а также [277]).

Получим основную оценку решений уравнения используемую далее в нелинейной теории. Введем обозначения Нам потребуются также внутренние нормы и полунормы, определенные в (4.17) и частности,

Теорема 12.4. ограниченное в решение уравнения

оператор равномерно эллиптичен и удовлетворяет в области неравенствам (12.16) и (12.17). Тогда с некоторым показателем а выполняется неравенство

Важной чертой этого результата является то, что постоянная С в оценке (12.22) зависит только от верхних граней модулей коэффициентов, а не каких-либо свойств их гладкости. Это обстоятельство резко отличает эти результаты от оценок Шаудера (теорема 6.2), в которых участвуют также постоянные Гёльдера коэффициентов уравнения. Оценки Гёльдера гл. 8 для уравнений дивергентного вида от переменных (теорема 8.24) также не зависят от свойств регулярности коэффициентов, однако эти оценки имеют место лишь для самого решения, а не для его производных. Справедливость аналога теоремы 12.4 в случае сомнительна.

Доказательство теоремы 12.4. Пусть произвольная пара точек области Положим и определим области Заметим, что Применим теперь теорему взяв в качестве областей Области соответственно и постоянные Учитывая, что компоненты функции выражаются через градиент мы можем записать неравенство (12.14) Для при в виде

где Следовательно,

откуда

для произвольной области Воспользовавшись интерполяционным неравенством (6.8) с

получим неравенство

Возьмем так, чтобы Получим неравенство

с некоторой постоянной что и требовалось доказать.

Из (12.22) и интерполяционного неравенства (12.23) следует оценка вида

Глобальные оценки

Из теоремы при соответствующих требованиях на гладкость граничных данных и самого решения может быть получена оценка в

Потребуем, дополнительно к условиям теоремы чтобы и область являлась областью класса на . В этом случае мы можем утверждать справедливость глобальной оценки

гдеа Наметим в обших чертах метод доказательства этой оценки. Положим Ясно, что функция удовлетворяет уравнению Пусть граничная кривая покрьюается конечным числом перекрывающихся дуг, каждая из которых может быть выпрямлена в сегмент на прямой соответствующим диффеоморфизмом определенным в окрестности дуги и принадлежащим классу Как и при получении неравенства (12.20), доказывается, что отображение где является -квазиконформным по переменным с постоянными (напомним, что Кроме того, при Рассуждение, аналогичное рассуждению доказательства в замечании 4 в конце раздела показывает, что функции следовательно, функция удовлетворяют в глобальному условию Гёльдера, причем показатель Гёльдера а зависит только от у и а коэффициент Гёльдера зависит также от Таким образом,

С помощью интерполяционного неравенства (см. лемму 6.35) получаем оценку

Если на , то, заменив в предыдущих рассуждениях функцию и на функцию и заметив, что норма может быть оценена через (теорема 3.7), мы получаем априорную оценку вида

Следует подчеркнуть, что эта оценка не зависит от каких бы то ни было свойств гладкости функции и коэффициентов оператора зависимость от области как видно из доказательства, выражается через ее размерости и верхние грани первых и вторых производных отображения через -свойства границы

Позже в этой главе мы дадим следующее применение предыдущего результата. Пусть область класса некоторое положительное число и пусть функция и коэффициенты оператора принадлежат Тогда если функция и удовлетворяет в уравнению и граничному условию и на 912 с 12), то и причем Подчеркнем, что функция и априори предполагается только непрерывной на 912. Доказательство сформулированного утверждения получается из результатов предыдущего раздела с помощью аппроксимации. А именно, если функции из сходящиеся соответственно к функциям на компактных подобластях то соответствующие решения задач Дирихле на принадлежат и (в силу предыдущего) удовлетворяют равномерной оценке в с некоторыми постоянными , не зависящими от В силу внутренних оценок Шаудера и в силу единственности последовательность сходится к заданному решению и уравнения Ясно, что и предельная функция и удовлетворяет той же самой оценке что и утверждалось.

1
Оглавление
email@scask.ru