Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Разделив уравнение (12.15) на минимальное значение X, можем считать, что
и поэтому неравенства (12.16) выполняются с
кроме того,
Далее предполагаем, что
Полагая
можем записать уравнение (12.15) в виде системы
Формально дифференцируя, убеждаемся, что функция
является решением (в слабом смысле) равномерно эллиптического уравнения дивергентного вида
Аналогичное уравнение имеет место и для
(см. доказательство теоремы 11.5). Оценки Гёльдера дляр и
, которые устанавливаются в этом разделе, можно получить с помощью методов, развитых в гл. 8 для уравнений дивергентного вида. При
детали соответствующих доказательств не очень сильно отличаются от рассматриваемых здесь доказательств, использующих свойства квазиконформных отображений.
Умножая левую часть (12.8) на функцию получаем
и аналогично
Складьюая эти неравенства и замечая, что
получаем
Используя неравенство
и полагая
из (12.19) получаем
Следовательно, функция
определяет
квазиконформное отображение, удовлетворяющеее неравенству (12.2) с постоянными
Выбирая число
достаточно малым, мы можем постоянную К сделать сколь угодно близкой к
Если
то из (12.16) и (12.17) следует неравенство
В этом случае отображение
является
-квазиконформным с постоянной
Несложное, но более тщательное вычисление показывает, что наименьшая постоянная квазиконформности не превышает
(см. задачу
, а также [277]).
Получим основную оценку решений уравнения
используемую далее в нелинейной теории. Введем обозначения
Нам потребуются также внутренние нормы и полунормы, определенные в (4.17) и
частности,
Теорема 12.4.
ограниченное в
решение уравнения
оператор
равномерно эллиптичен и удовлетворяет в области
неравенствам (12.16) и (12.17). Тогда с некоторым показателем а
выполняется неравенство
Важной чертой этого результата является то, что постоянная С в оценке (12.22) зависит только от верхних граней модулей коэффициентов, а не
каких-либо свойств их гладкости. Это обстоятельство резко отличает эти результаты от оценок Шаудера (теорема 6.2), в которых участвуют также постоянные Гёльдера коэффициентов уравнения. Оценки Гёльдера гл. 8 для уравнений дивергентного вида от
переменных (теорема 8.24) также не зависят от свойств регулярности коэффициентов, однако эти оценки имеют место лишь для самого решения, а не для его производных. Справедливость аналога теоремы 12.4 в случае
сомнительна.
Доказательство теоремы 12.4. Пусть
произвольная пара точек области
Положим
и определим области
Заметим, что
Применим теперь теорему
взяв в качестве областей
Области
соответственно и постоянные
Учитывая, что компоненты функции
выражаются через градиент
мы можем записать неравенство (12.14) Для
при
в виде
где
Следовательно,
откуда
для произвольной области
Воспользовавшись интерполяционным неравенством (6.8) с
получим неравенство
Возьмем
так, чтобы
Получим неравенство
с некоторой постоянной
что и требовалось доказать.
Из (12.22) и интерполяционного неравенства (12.23) следует оценка вида
Глобальные оценки
Из теоремы
при соответствующих требованиях на гладкость граничных данных и самого решения может быть получена оценка в
Потребуем, дополнительно к условиям теоремы
чтобы и
область
являлась областью класса
на
. В этом случае мы можем утверждать справедливость глобальной оценки
гдеа
Наметим в обших чертах метод доказательства этой оценки. Положим
Ясно, что функция
удовлетворяет уравнению
Пусть граничная кривая покрьюается конечным числом перекрывающихся дуг, каждая из которых может быть выпрямлена в сегмент на прямой
соответствующим диффеоморфизмом
определенным в окрестности дуги и принадлежащим классу
Как и при получении неравенства (12.20), доказывается, что отображение
где
является
-квазиконформным по переменным
с постоянными
(напомним, что
Кроме того,
при
Рассуждение, аналогичное рассуждению доказательства в замечании 4 в конце раздела
показывает, что функции
следовательно, функция
удовлетворяют в
глобальному условию Гёльдера, причем показатель Гёльдера а зависит только от у и
а коэффициент Гёльдера зависит также от
Таким образом,
С помощью интерполяционного неравенства (см. лемму 6.35) получаем оценку
Если
на
, то, заменив в предыдущих рассуждениях функцию и на функцию
и заметив, что норма
может быть оценена через
(теорема 3.7), мы получаем априорную оценку вида
Следует подчеркнуть, что эта оценка не зависит от каких бы то ни было свойств гладкости функции
и коэффициентов оператора
зависимость от области
как видно из доказательства, выражается через ее размерости и верхние грани первых и вторых производных отображения
через
-свойства границы
Позже в этой главе мы дадим следующее применение предыдущего результата. Пусть
область класса
некоторое положительное число и пусть функция
и коэффициенты оператора
принадлежат
Тогда если функция и
удовлетворяет в
уравнению
и граничному условию и
на 912 с 12), то и
причем
Подчеркнем, что функция и априори предполагается только непрерывной на 912. Доказательство сформулированного утверждения получается из результатов предыдущего раздела с помощью аппроксимации. А именно, если
функции из
сходящиеся соответственно к функциям
на компактных подобластях
то соответствующие решения
задач Дирихле
на
принадлежат
и (в силу предыдущего) удовлетворяют равномерной оценке в
с некоторыми постоянными
, не зависящими от
В силу внутренних оценок Шаудера и в силу единственности последовательность
сходится к заданному решению и уравнения
Ясно, что и предельная функция и
удовлетворяет той же самой оценке
что и утверждалось.