12.2. Оценки Гёльдера градиента решения для линейных уравнений

Применим результаты предыдущего раздела для получения внутренних оценок Гёльдера первых производных решений равномерно эллиптических уравнений

с коэффициентами определенными в области -плоскости, Пусть минимальное и соответственно максимальное собственные значения матрицы коэффициентов, так что

Предположим, что оператор равномерно эллиптичен в

с некоторой постоянной Предположим также, что

Разделив уравнение (12.15) на минимальное значение X, можем считать, что и поэтому неравенства (12.16) выполняются с кроме того, Далее предполагаем, что

Полагая можем записать уравнение (12.15) в виде системы

Формально дифференцируя, убеждаемся, что функция является решением (в слабом смысле) равномерно эллиптического уравнения дивергентного вида

Аналогичное уравнение имеет место и для (см. доказательство теоремы 11.5). Оценки Гёльдера дляр и , которые устанавливаются в этом разделе, можно получить с помощью методов, развитых в гл. 8 для уравнений дивергентного вида. При детали соответствующих доказательств не очень сильно отличаются от рассматриваемых здесь доказательств, использующих свойства квазиконформных отображений.

Умножая левую часть (12.8) на функцию получаем

и аналогично

Складьюая эти неравенства и замечая, что получаем

Используя неравенство

и полагая из (12.19) получаем

Следовательно, функция определяет квазиконформное отображение, удовлетворяющеее неравенству (12.2) с постоянными

Выбирая число достаточно малым, мы можем постоянную К сделать сколь угодно близкой к

Если то из (12.16) и (12.17) следует неравенство

В этом случае отображение является -квазиконформным с постоянной Несложное, но более тщательное вычисление показывает, что наименьшая постоянная квазиконформности не превышает (см. задачу , а также [277]).

Получим основную оценку решений уравнения используемую далее в нелинейной теории. Введем обозначения Нам потребуются также внутренние нормы и полунормы, определенные в (4.17) и частности,

Теорема 12.4. ограниченное в решение уравнения

оператор равномерно эллиптичен и удовлетворяет в области неравенствам (12.16) и (12.17). Тогда с некоторым показателем а выполняется неравенство

Важной чертой этого результата является то, что постоянная С в оценке (12.22) зависит только от верхних граней модулей коэффициентов, а не каких-либо свойств их гладкости. Это обстоятельство резко отличает эти результаты от оценок Шаудера (теорема 6.2), в которых участвуют также постоянные Гёльдера коэффициентов уравнения. Оценки Гёльдера гл. 8 для уравнений дивергентного вида от переменных (теорема 8.24) также не зависят от свойств регулярности коэффициентов, однако эти оценки имеют место лишь для самого решения, а не для его производных. Справедливость аналога теоремы 12.4 в случае сомнительна.

Доказательство теоремы 12.4. Пусть произвольная пара точек области Положим и определим области Заметим, что Применим теперь теорему взяв в качестве областей Области соответственно и постоянные Учитывая, что компоненты функции выражаются через градиент мы можем записать неравенство (12.14) Для при в виде

где Следовательно,

откуда

для произвольной области Воспользовавшись интерполяционным неравенством (6.8) с

получим неравенство

Возьмем так, чтобы Получим неравенство

с некоторой постоянной что и требовалось доказать.

Из (12.22) и интерполяционного неравенства (12.23) следует оценка вида

Глобальные оценки

Из теоремы при соответствующих требованиях на гладкость граничных данных и самого решения может быть получена оценка в

Потребуем, дополнительно к условиям теоремы чтобы и область являлась областью класса на . В этом случае мы можем утверждать справедливость глобальной оценки

гдеа Наметим в обших чертах метод доказательства этой оценки. Положим Ясно, что функция удовлетворяет уравнению Пусть граничная кривая покрьюается конечным числом перекрывающихся дуг, каждая из которых может быть выпрямлена в сегмент на прямой соответствующим диффеоморфизмом определенным в окрестности дуги и принадлежащим классу Как и при получении неравенства (12.20), доказывается, что отображение где является -квазиконформным по переменным с постоянными (напомним, что Кроме того, при Рассуждение, аналогичное рассуждению доказательства в замечании 4 в конце раздела показывает, что функции следовательно, функция удовлетворяют в глобальному условию Гёльдера, причем показатель Гёльдера а зависит только от у и а коэффициент Гёльдера зависит также от Таким образом,

С помощью интерполяционного неравенства (см. лемму 6.35) получаем оценку

Если на , то, заменив в предыдущих рассуждениях функцию и на функцию и заметив, что норма может быть оценена через (теорема 3.7), мы получаем априорную оценку вида

Следует подчеркнуть, что эта оценка не зависит от каких бы то ни было свойств гладкости функции и коэффициентов оператора зависимость от области как видно из доказательства, выражается через ее размерости и верхние грани первых и вторых производных отображения через -свойства границы

Позже в этой главе мы дадим следующее применение предыдущего результата. Пусть область класса некоторое положительное число и пусть функция и коэффициенты оператора принадлежат Тогда если функция и удовлетворяет в уравнению и граничному условию и на 912 с 12), то и причем Подчеркнем, что функция и априори предполагается только непрерывной на 912. Доказательство сформулированного утверждения получается из результатов предыдущего раздела с помощью аппроксимации. А именно, если функции из сходящиеся соответственно к функциям на компактных подобластях то соответствующие решения задач Дирихле на принадлежат и (в силу предыдущего) удовлетворяют равномерной оценке в с некоторыми постоянными , не зависящими от В силу внутренних оценок Шаудера и в силу единственности последовательность сходится к заданному решению и уравнения Ясно, что и предельная функция и удовлетворяет той же самой оценке что и утверждалось.