8.10. Локальные оценки вблизи границы

Введенные нами ранее неравенства для функций из на границе области могут быть обобщены следующим образом. Пусть произвольное подмножество и пусть функция и принадлежит Будем говорить, что и на в смысле если функция является пределом в последовательности функций, принадлежащих . Ясно, что для непрерывной на функции и это определение выполнено, если на в обычном смысле. При введенное определение совпадает с определением из раздела 8.1. Определения других типов неравенств на аналогичны определениям, данным выше. Докажем следующие обобщения теорем 8.17 и 8.18.

Теорема 8.25. Пусть оператор удовлетворяет (8.5) и (8.6). Предположим, что для некоторого Тогда если функция и является субрешением в уравнения (8.3), принадлежащим то для всех , выполняется неравенство

где

постоянная к задана формулой (8.45), а

Теорема 8.26. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что некоторого Тогда если функция и является суперрешением в уравнения (8.3), принадлежащим неотрицательным в для некоторого шара для любого удовлетворяющего неравенствам справедливо неравенство

где

Доказательство. Осуществим сведение доказательства теоремы к теоремам 8.17 и 8.18. Положим к в случае, когда функция является субрешением, и к в случае, когда функция и является суперрешением. В качестве пробной функции в интегральном тождестве (8.3) возьмем функцию

Функцию выберем позже.

На носителе функции справедливы структурные неравенства (8.44) с величинами Воспользовавшись тем, что приходим к оценке вида (8.52) для функции . Требуемые оценки (8.69) и (8.70) получаются далее так же, как и в доказательстве теорем 8.17 и 8.18.

Глобальный (вплоть до границы) результат о непрерьюности не выводится из теоремы 8.26, если на область не накладывать определенных условий. Будем говорить, что область удовлетворяет условию внешнего конуса в точке если существует конечный правильный круговой конус с вершиной такой, что Условие внешнего конуса, очевидно, выполняется, если выполняется условие внешней сферы.

Справедливо следующее обобщение оценки Гёльдера (8.65).

Теорема 8.27. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что для некоторого Тогда если функция и является решением в уравнения принадлежащим если область удовлетворяет условию внешнего конуса в точке то для любого и любого шара справедливо неравенство

где положительные постоянные.

Введем обозначения: произвольное положительное число. Точку фиксируем.

Доказательство. Следуем доказательству теоремы 8.22. Предположим сначала, что высота Обозначим:

В каждой функции в шаре запишем оценку (8.70). Получим

где Используя условие внешнего конуса, получаем

Сложим эти неравенства:

где Далее оценка (8.72) получается из леммы 8.23.

Если вьшолнены условия теоремы при то из оценки (8.72) следует, что существует предел Следующий результат о глобальной непрерывности вытекает из теорем 8.22 и 8.27.

Следствие 8.28. Дополнительно к условиям теоремы 8.27 предположим, что область удовлетворяет условию внешнего конуса в каждой точке границы и что при для всех точек Тогда функция и равномерно непрерывна в

Если область удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, то равномерная оценка Гёльдера может быть получена и из теоремы 8.27. Будем говорить, что область удовлетворяет равномерному условию внешнего конуса на куске если область удовлетворяет условию внешнего конуса в каждой точке конусы конгруэнтны некоторому фиксированному конусу При выполнении равномерного условия конуса справедливо следующее обобщение теоремы 8.24.

Теорема 8.29. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6) и пусть для некоторого Предположим, что область удовлетворяет равномерному условию внешнего конуса на куске границы Тогда если функция и удовлетворяет в уравнению (8.3), и если существуют постоянные к,

такие, что

функция и принадлежит некоторым показателем и для произвольной подобласти выполняется неравенство

с постоянными При величину надо заменить на

Доказательство. Пусть . В силу теоремы 8.22 с для произвольнойточки имеем

Возьмем теперь точку так, что Взяв в получаем

если только Следовательно, для любой точки выполняется неравенство (считаем, что )

Вновь применяя оценку мы видим, что (8.74) выполняется при

В утверждении доказанной теоремы объединены отдельные оценки Гёльдера внутри области и на границе в единую оценку смешанного характера. Отметим следующий факт. Пусть . Тогда если то при для всех . А если то для всех Справедливо замечание, следующее за доказательством теоремы 8.24, касающееся постоянных С из неравенств (8.69) и (8.70) и постоянных а из неравенств (8.72) и (8.73). Из теоремы 8.3 и следствия 8.28 следует теорема существования для уравнения (8.3) для произвольных непрерывных граничных данных.

Теорема 8.30. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5), (8.6) и (8.8) и пусть для некоторого Предположим, что область удовлетворяет условию внешнего конуса в каждой точке Если то существует единственная функция и удовлетворяющая в уравнению и граничному условию на

Доказательство. Пусть последовательность функций из сходящаяся равномерно к на . В силу теоремы 8.3 и следствия 8.28 существует последовательность функций из такая, что на 2. По теореме 8.1 имеем

Следовательно, последовательность равномерно сходится к функции удовлетворяющей равенству на Кроме того, из неравенства (8.52) вытекает, что для произвольной области интеграл стремится к нулю при Поэтому функция и принадлежит (12) и удовлетворяет в уравнению (8.3). Единственность решения и следует из теоремы 8.1, примененной для областей

Критерий Винера. Если в условии теоремы 8.30 опустить ограничения на область то, поступая, как и выше, можно доказать существование функции и такой, что причем и при если в точке область удовлетворяет условию внешнего конуса. Каждая точка границы в которой при произвольном выборе заданных функций называется регулярной точкой для оператора Используя методы работы [362] или работы [179], можно показать, что регулярные точки для оператора совпадают с регулярными точками для оператора Лапласа (определение последних см. в гл. 2). Метод барьеров, развитый в гл. 6, может быть применен и в рассматриваемом случае. Отметим, что, как видно из доказательства теоремы 8.27, условие внешнего конуса можно заменить условием вида

Более того, развивая технику, описанную в этом разделе, можно доказать достаточность условия Винера (2.37) для регулярности граничной точки. Докажем сначала оценку, аналогичную слабому неравенству Харнака (теоремы 8.18 и 8.26), содержащую градиент суперрешения. Рассмотрим внутренний случай. Предположим, что выполнены условия теоремы 8.18. Тогда, как следует из доказательства 8.18, вместе с оценкой (8.47) мы можем получить и оценку вида

где постоянная Применяя неравенство Гёльдера, получаем

с постоянной для фиксированного значения например для Если дополнительно предположим, что выполнены условия теоремы 8.26, то, проводя доказательство, аналогичное ее доказательству, мы получим, что в (8.76) величину и можно заменить на и Поэтому

с постоянной Взяв далее срезающую функцию такую, что на и подставим в качестве пробной функции в (8.30) функцию заметив, что при Предположим далее, что последнее имеет место. Нормируя значение к единице и используя условия (8.5) и (8.6), получим

Пусть . С помощью (8.70) и (8.77) получаем неравенство

Следовательно, для произвольного справедливо неравенство

Напомним, что емкость множества определяется равенством

(см. (2.36)), где на Так как и пространство плотно в и так как

Поэтому если — решение уравнения (8.3) в и если то, применяя обозначения из доказательства теоремы 8.27, можем записать

где Складывая эти неравенства, приходим к оценке колебания вида

Оставляем читателю для самостоятельной проверки следующий факт: если выполнено условие (2.37) с постоянной то с помощью

итераций неравенства (8.81) подобно тому, как это делалось при доказательстве леммы 8.23 (задача 8.8), можно получить оценку модуля непрерывности функции и в точке Таким образом, мы можем утверждать справедливость следующего обобщения теоремы 8.30.

Теорема 8.31. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5), (8.6) и (8.8) и пусть для некоторого Предположим, что выполнено условие Винера (2.37) в каждой точке Тогда для произвольной функции существует единственная функция и удовлетворяющая в уравнению и равная у на

Наконец, в заключение этого раздела мы отметим, что результаты разделов остаются в силе, если условия (8.6) на коэффициенты и заменить на следующее: Полагая мы должны тогда в оценках заменить на . В некоторых предыдущих локальных результатах можно ослабить условия, касающиеся и равномерной, и строгой эллиптичности оператора (см. [285], [288], [299]).