8.10. Локальные оценки вблизи границы
Введенные нами ранее неравенства для функций из
на границе
области
могут быть обобщены следующим образом. Пусть
произвольное подмножество
и пусть функция и принадлежит
Будем говорить, что и
на
в смысле
если функция
является пределом в
последовательности функций, принадлежащих
. Ясно, что для непрерывной на
функции и это определение выполнено, если
на
в обычном смысле. При
введенное определение совпадает с определением из раздела 8.1. Определения других типов неравенств на
аналогичны определениям, данным выше. Докажем следующие обобщения теорем 8.17 и 8.18.
Теорема 8.25. Пусть оператор
удовлетворяет (8.5) и (8.6). Предположим, что
для некоторого
Тогда если функция и является субрешением в
уравнения (8.3), принадлежащим
то для всех
, выполняется неравенство
где
постоянная к задана формулой (8.45), а
Теорема 8.26. Пусть оператор
удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что
некоторого
Тогда если функция и является суперрешением в
уравнения (8.3), принадлежащим
неотрицательным в
для некоторого шара
для любого
удовлетворяющего неравенствам
справедливо неравенство
где
Доказательство. Осуществим сведение доказательства теоремы к теоремам 8.17 и 8.18. Положим
к в случае, когда функция
является субрешением, и
к в случае, когда функция и является суперрешением. В качестве пробной функции в интегральном тождестве (8.3) возьмем функцию
Функцию
выберем позже.
На носителе функции
справедливы структурные неравенства (8.44) с величинами
Воспользовавшись тем, что
приходим к оценке вида (8.52) для функции
. Требуемые оценки (8.69) и (8.70) получаются далее так же, как и в доказательстве теорем 8.17 и 8.18.
Глобальный (вплоть до границы) результат о непрерьюности не выводится из теоремы 8.26, если на область
не накладывать определенных условий. Будем говорить, что область
удовлетворяет условию внешнего конуса в точке
если существует конечный правильный круговой конус
с вершиной
такой, что
Условие внешнего конуса, очевидно, выполняется, если выполняется условие внешней сферы.
Справедливо следующее обобщение оценки Гёльдера (8.65).
Теорема 8.27. Пусть оператор
удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что
для некоторого
Тогда если функция и является решением в
уравнения
принадлежащим
если область
удовлетворяет условию внешнего конуса в точке
то для любого
и любого шара
справедливо неравенство
где
положительные постоянные.
Введем обозначения:
произвольное положительное число. Точку
фиксируем.
Доказательство. Следуем доказательству теоремы 8.22. Предположим сначала, что
высота
Обозначим:
Доказательство. Пусть
последовательность функций из
сходящаяся равномерно к
на
. В силу теоремы 8.3 и следствия 8.28 существует последовательность
функций из
такая, что
на 2. По теореме 8.1 имеем
Следовательно, последовательность
равномерно сходится к функции
удовлетворяющей равенству
на
Кроме того, из неравенства (8.52) вытекает, что для произвольной области
интеграл
стремится к нулю при
Поэтому функция и принадлежит (12) и удовлетворяет в
уравнению (8.3). Единственность решения и следует из теоремы 8.1, примененной для областей
Критерий Винера. Если в условии теоремы 8.30 опустить ограничения на область
то, поступая, как и выше, можно доказать существование функции и
такой, что
причем и
при
если в точке
область
удовлетворяет условию внешнего конуса. Каждая точка
границы
в которой
при произвольном выборе заданных функций называется регулярной точкой для оператора
Используя методы работы [362] или работы [179], можно показать, что регулярные точки для оператора
совпадают с регулярными точками для оператора Лапласа (определение последних см. в гл. 2). Метод барьеров, развитый в гл. 6, может быть применен и в рассматриваемом случае. Отметим, что, как видно из доказательства теоремы 8.27, условие внешнего конуса можно заменить условием вида
Более того, развивая технику, описанную в этом разделе, можно доказать достаточность условия Винера (2.37) для регулярности граничной точки. Докажем сначала оценку, аналогичную слабому неравенству Харнака (теоремы 8.18 и 8.26), содержащую градиент суперрешения. Рассмотрим внутренний случай. Предположим, что выполнены условия теоремы 8.18. Тогда, как следует из доказательства 8.18, вместе с оценкой (8.47) мы можем получить и оценку вида
где
постоянная
Применяя неравенство Гёльдера, получаем
с постоянной
для фиксированного значения
например для
Если дополнительно предположим, что выполнены условия теоремы 8.26, то, проводя доказательство, аналогичное ее доказательству, мы получим, что в (8.76) величину и можно заменить на и Поэтому
с постоянной
Взяв далее срезающую функцию
такую, что
на
и
подставим в качестве пробной функции в (8.30) функцию
заметив, что
при
Предположим далее, что последнее имеет место. Нормируя значение
к единице и используя условия (8.5) и (8.6), получим
Пусть
. С помощью (8.70) и (8.77) получаем неравенство
Следовательно, для произвольного
справедливо неравенство
Напомним, что емкость множества
определяется равенством
(см. (2.36)), где
на
Так как
и пространство
плотно в
и так как
Поэтому если
— решение уравнения (8.3) в
и если
то, применяя обозначения из доказательства теоремы 8.27, можем записать
где
Складывая эти неравенства, приходим к оценке колебания вида
Оставляем читателю для самостоятельной проверки следующий факт: если выполнено условие (2.37) с постоянной
то с помощью
итераций неравенства (8.81) подобно тому, как это делалось при доказательстве леммы 8.23 (задача 8.8), можно получить оценку модуля непрерывности функции и в точке
Таким образом, мы можем утверждать справедливость следующего обобщения теоремы 8.30.
Теорема 8.31. Пусть оператор
удовлетворяет условиям (8.5), (8.6) и (8.8) и пусть
для некоторого
Предположим, что выполнено условие Винера (2.37) в каждой точке
Тогда для произвольной функции
существует единственная функция и
удовлетворяющая в
уравнению
и равная у на
Наконец, в заключение этого раздела мы отметим, что результаты разделов
остаются в силе, если условия (8.6) на коэффициенты
и
заменить на следующее:
Полагая
мы должны тогда в оценках
заменить
на
. В некоторых предыдущих локальных результатах можно ослабить условия, касающиеся и равномерной, и строгой эллиптичности оператора
(см. [285], [288], [299]).