5.4. Сопряженные пространства и сопряженные операторы

Для полноты мы приведем некоторые результаты, которые далее будут доказаны в случае гильбертовых пространств; только в этой ситуации они и будут использоваться. Пусть V — линейное нормированное пространство. Функционал насесть отображение Пространство всех линейных ограниченных функционалов на V называется сопряженным пространством к V и обозначается через Несложно проверить, что V есть банахово пространство с нормой

Пример. Сопряженное к пространство изоморфно самому

Сопряженное к пространство, обозначаемое, называется вторым сопряженным к Ясно, что отображение определяемое равенством для всех является сохраняющим норму линейным взаимно однозначным отображением V на . Если то пространство V называется рефлексивным. Рефлексивные банаховы пространства имеют ряд свойств, делающихих более удобными, нежели общие банаховы пространства, для приложений в теории дифференциальных уравнений. Пространства Соболева рассматриваемые в гл. 7, рефлексивны при а пространства Гельдера рассмотренные в гл. 4, нерефлексивны.

Пусть ограниченное линейное отображение из банахова пространства в банахово пространство . Сопряженный к оператор, обозначаемый это линейное ограниченное отображение определяемое равенством

Обозначим через нуль-пространства и области значений операторов соответственно. При условии замкнутости справедливы следующие соотношения:

Кроме того, из компактности оператора следует компактность Последние два результата доказаны, например, в [107]. Отсюда видно, что в случае (i) альтернативы Фредгольма в банаховом пространстве для существования решения уравнения у необходимо и

достаточно, чтобы для всех удовлетворяющих равенству Этот последний результат будет непосредственно установлен в случае гильбертовых пространств.