ГЛАВА 12. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Теория квазилинейных эллиптических уравнений с двумя переменными во многих отношениях проще и в некоторых отношениях более развита, нежели теория уравнений с большим числом переменных. В этой главе излагаются некоторые аспекты теории, существенно двумерные по своему характеру, хотя шавные результаты о квазилинейных уравнениях могут быть обобщены — другими методами — и на случай большего числа независимых переменных. Как мы увидим, существенной особенностью излагаемой теории является использование сильных априорных оценок, выполняющихся для общих линейных уравнений с двумя переменными.

12.1. Квазиконформные отображения

В теории эллиптических уравнений с двумя переменными важную роль играют различные теоретико-функциональные концепции и методы (см. например, [140]). Здесь мы будем касаться в первую очередь априорных оценок, получаемых с помощью теории квазиконформных отображений.

Непрерывно дифференцируемое отображение осуществляемое при помощи функций определенных в области -плоскости, называется квазиконформным или К-квазиконформным в если для всех выполняется неравенство

где К - некоторая положительная постоянная. Хотя для наших целей достаточно, чтобы функции принадлежали но результаты, получаемые в этом разделе, могут быть доказаны для непрерывных функций принадлежащих т. е. для непрерывных функций имеющих слабые производные, квадраты которых локально интегрируемы.

При из (12.1) следует, что функции постоянны. Поэтому мы будем предполагать, что При отображение определяет аналитическую функцию перемен той При неравенство (12.1) имеет следующее геометрическое содержание: в точках, в которых якобиан отличен от нуля, преобразование сохраняет ориентацию и переводит бесконечно малые круги в бесконечно малые эллипсы с равномерно ограниченными эксцентриситетами, причем отношение меньшей полуоси к большей ограничено снизу положительной постоянной Этот факт можно проверить прямым вычислением.

Представляет интерес рассмотрение более широкого класса отображений удовлетворяющих неравенству

где постоянные, причем Хотя геометрическое содержание уже не то, что прежде, но мы будем называть отображения, удовлетворяющие неравенству (12.2), -квазиконформными. Далее мы увидим, что отображения, удовлетворяющие неравенствам (12.1) и (12.2), естественным образом возникают из эллиптических уравнений с двумя переменными с функциями являющимися первыми производными решения.

В этом разделе мы получим априорные внутренние оценки Гёльдера для -квазиконформных отображений. Главный результат будет получен как следствие лемм об интеграле Дирихле

-квазиконформного отображения круга Для краткости будем писать вместо вместо

Лемма 12.1. Пусть отображение -квазиконформно в круге и пусть неравенство (12.2) выполняется с постоянными Предположим, что в Тогда для всех

где Если утверждение имеет место и при

Доказательство. Сначала докажем оценку для интеграла Дирихле в круге радиуса Из (12.2) в произвольном концентрическом круге получаем

где длина дуги окружности измеряемая против движения часовой стрелки. Так как то

Подставляя это неравенство в (12.5) и заменяя на во втором слагаемом правой части, получаем неравенство

где Так как или и мы имеем нужную оценку, или и тогда для некоторого следовательно, для всех больших значений Дифференциальное неравенство (12.7) можно тогда проинтегрировать по от до Получим:

Беря приходим к неравенству

Заметим, что при выводе этой оценки использовалась только неотрицательность постоянной К и не использовались другие условия для . В общем случае, как показывает пример, нельзя получить такую оценку во всем круге аналитические функции при удовлетворяют неравенству но

С другой стороны, для любого фиксированного выполнено неравенство с постоянной не зависящей от

Используя оценку (12.8) интеграла Дирихле в круге получим оценку роста Из неравенств

следует, что

Следовательно, записывая неравенство (12.2) в виде

и подставив (или, эквивалентно, ), получаем неравенство

Таким образом,

Так как выражения в (12.2) инвариантны относительно вращений, то полученное неравенство остается верным при замене производной на производную по произвольному направлению.

Вспользуемся неравенством (12.9) для получения более точной оценки интеграла в (12.5). Пусть среднее значениер на окружности Тогда

В силу неравенства Виртингера [320] имеем

Поэтому

(Это неравенство легко доказывается с помощью равенства Парсеваля, если разложить функцию в ряд Фурье по в.) Подставляя неравенство (12.11) в неравенство (12.10), получаем неравенство

откуда в силу (12.9) следует, что

Это неравенство подставим теперь в (12.5) и снова воспользуемся равенством Мы придем к дифференциальному неравенству

из которого следует неравенство

Проинтегрируем его от до Получим:

Полагая и используя оценку (12.8), мы приходим к требуемой оценке (12.4) с постоянной где

Отметим, что если то рассуждения осуществимы и при причем постоянная С получится равной

Следующая лемма Морри играет важную роль при получении оценки Гёльдера самой функции на основании оценки роста интеграла Дирихле.

Лемма Пусть функция w принадлежит и пусть причем Предположим, что существуют положительные постоянные такие, что

для всех с центрами радиусами Тогда для всех таких, что справедливо неравенство

Эта лемма является непосредственным следствием теоремы 7.19 при и получается с помощью неравенства Шварца. Доказательство леммы в приведенном виде имеется в [309].

Результаты предыдущих лемм объединяются в следующей априорной оценке Гёльдера для -квазиконформных отображений.

Теорема Пусть -квазиконформное в области отображение с постоянными Предположим, Пусть Тогда для всех справедливо неравенство

где Если то и утверждение верно и для

Доказательство. Предположим сначала, что Полагая в условиях лемм получаем где

Этим доказывается теорема с постоянной

Замечания. (1) Показатель является наилучшим (т.е. наибольшим), с которым справедливы утверждения леммы и теоремы Этот факт подтверждает пример А-квазиконформ-ного отображения точный показатель Гёльдера которого равен а в точке . С меньшим показателем а (для ) аналогичные результаты могут быть получены с помощью более прямого доказательства леммы опирающегося на неравенство (12.5) и не использующего неравенство (12.9); в этом случае точная форма неравенства Виртингера (12.11) ненужна (см. [215]).

(2) Контрпримеры показывают, что утверждения леммы и теоремы с показателем не имеют места при т. е. при (см. задачу ). Однако если отображение удовлетворяет неравенству (12.2) с постоянной то оно удовлетворяет этому неравенству и с любой большей постоянной К, и поэтому соответствующие

утверждения леммы 12.1 и теоремы 12.3 имеют место с показателем а, сколь угодно близким к 1.

(3) Если область ограничена и может быть покрыта Округами диаметра то из доказательства видно, что теорема 12.3 остается верной при более слабом условии причем в этом случае постоянная С в неравенстве (12.14) будет зависеть также следовательно, от диаметра

(4) Глобальные оценки. Если отображение является -квазиконформным в области класса и если то утверждение теоремы может быть усилено, а именно: справедлива глобальная априорная оценка Гёльдера для В частности, если на то функция удовлетворяет глобальному условию Гёльдера с показателем и коэффициентом Гёльдера, зависящими только от Наметим метод доказательства этого утверждения. Пусть 912 является объединением конечного числа перекрывающихся дуг, каждая из которых может быть выпрямлена с помощью некоторого диффеоморфизма класса определенного в окрестности дуги. Функция квазиконформна по переменным с постоянными к, к, зависящими от Осуществляя продолжение через прямую по формулам мы приходим к функциир определенной в более широкой области в -плоскости и являющейся -квазиконформной. К соответствующему -квазиконформному отображению применимы доказанные ранее внутренние оценки. Возвращаясь на -плоскость, мы таким образом получим оценку Гёльдера для функции

где . Если то, рассмотрев функцию вместо функции мы что функция удовлетворяет глобальной оценке того же вида, с постоянными а и С, зависящими теперь от