Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 12. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИТеория квазилинейных эллиптических уравнений с двумя переменными во многих отношениях проще и в некоторых отношениях более развита, нежели теория уравнений с большим числом переменных. В этой главе излагаются некоторые аспекты теории, существенно двумерные по своему характеру, хотя шавные результаты о квазилинейных уравнениях могут быть обобщены — другими методами — и на случай большего числа независимых переменных. Как мы увидим, существенной особенностью излагаемой теории является использование сильных априорных оценок, выполняющихся для общих линейных уравнений с двумя переменными. 12.1. Квазиконформные отображенияВ теории эллиптических уравнений с двумя переменными важную роль играют различные теоретико-функциональные концепции и методы (см. например, [140]). Здесь мы будем касаться в первую очередь априорных оценок, получаемых с помощью теории квазиконформных отображений. Непрерывно дифференцируемое отображение
где К - некоторая положительная постоянная. Хотя для наших целей достаточно, чтобы функции При Представляет интерес рассмотрение более широкого класса отображений
где В этом разделе мы получим априорные внутренние оценки Гёльдера для
Лемма 12.1. Пусть отображение
где Доказательство. Сначала докажем оценку для интеграла Дирихле в круге радиуса
где
Подставляя это неравенство в (12.5) и заменяя
где
Беря
Заметим, что при выводе этой оценки использовалась только неотрицательность постоянной К и не использовались другие условия для
С другой стороны, для любого фиксированного Используя оценку (12.8) интеграла Дирихле в круге
следует, что
Следовательно, записывая неравенство (12.2) в виде
и подставив
Таким образом,
Так как выражения в (12.2) инвариантны относительно вращений, то полученное неравенство остается верным при замене производной Вспользуемся неравенством (12.9) для получения более точной оценки интеграла
В силу неравенства Виртингера [320] имеем
Поэтому
(Это неравенство легко доказывается с помощью равенства Парсеваля, если разложить функцию
откуда в силу (12.9) следует, что
Это неравенство подставим теперь в (12.5) и снова воспользуемся равенством
из которого следует неравенство
Проинтегрируем его от
Полагая
Отметим, что если Следующая лемма Морри играет важную роль при получении оценки Гёльдера самой функции на основании оценки роста интеграла Дирихле. Лемма
для всех
Эта лемма является непосредственным следствием теоремы 7.19 при Результаты предыдущих лемм объединяются в следующей априорной оценке Гёльдера для Теорема
где Доказательство. Предположим сначала, что
Этим доказывается теорема с постоянной Замечания. (1) Показатель (2) Контрпримеры показывают, что утверждения леммы утверждения леммы 12.1 и теоремы 12.3 имеют место с показателем а, сколь угодно близким к 1. (3) Если область (4) Глобальные оценки. Если отображение
где
|
1 |
Оглавление
|