6.2. Граничные и глобальные оценки

Для распространения полученных выше внутренних оценок на всю область необходимо иметь оценки, справедливые вблизи границы. Такие оценки можно получить, предполагая, что граничные значения решения и сама граница является достаточно гладкими. Во многих отношениях доказательство таких граничных оценок близко к доказательству внутренних оценок.

Глобальные оценки, которые являются основной целью этого раздела, будут установлены для областей класса

Определение. Будем говорить, что ограниченная облась и ее граница принадлежат классу если для каждой точки существуют шар и взаимно однозначное отображение этого шара такие, что:

Будем говорить, что область имеет кусок границы класса если в каждой точке существует шар такой, что и выполняются приведенные выше условия. При этом мы будем говорить, что диффеоморфизм выпрямляет границу вблизи точки

Отметим, в частности, что область принадлежит если каждая точка границы имеет окрестность, в которой является графиком функции класса от координат из координат . Если то верно и обратное утверждение.

Из определения следует, что область класса является также областью класса 0 если

Функцию определенную на куске границы области класса будем назьшать функцией класса если для каждой точки Важно отметить, что если принадлежит то функция может быть продолжена на функцией класса Обратно, функция из имеет граничные значения класса лемму 6.38). Поэтому несущественно, будем в дальнейшем рассматривать функцию из или из

Граничную норму в можно определить различными способами. Например, если и есть продолжение на то можно определить

где нижняя грань берется по множеству всех продолжений функции на Снабженное такой нормой пространство является банаховым пространством. В этой книге мы не будем использовать граничные нормы функций, заданных на неплоских границах, а вместо этого будем, как правило, рассматривать граничную функцию как сужение глобально определенной функции с присущей ей нормой.

Для получения граничных оценок решений уравнения в областях, граница которых имеет кусок класса мы сначала установим такую оценку для областей, граница которых имеет плоский кусок. Для этого нам потребуются следующие интерполяционные неравенства, аналогичные неравенствам (6.8) и (6.9), формулировки которых используют частично внутренние нормы и полунормы, определенные равенствами (4.29).

Пусть открытое подмножество пространства граница которого содержит плоский кусок расположенный на плоскости и пусть и и . Тогда для любого существует постоянная такая, что справедливы неравенства

Эти неравенства доказаны в приложении 1 к этой главе — см. лемму 6.34.

Теперь мы можем утверждать следующую локальную граничную оценку.

Лемма 6.4. Пусть открытое подмножество пространства граница которого имеет плоский кусок расположенный на гиперплоскости Предположим, что функция и является ограниченным решением в уравнения удовлетворяющим граничному условию и на Наряду с (6.2) предположим, что

Тогда имеет место оценка

с постоянной .

Доказател ьство идентично доказательству теоремы 6.2, если в нем заменить на и вместо леммы 6.1а) и неравенств (6.8), (6.9) воспользоваться леммой 6.16) и неравенствами (6.24), (6.25).

Эта лемма дает оценки первых и вторых производных решения и коэффициентов Гёльдера его вторых производных на любом подмножестве множества для которого . В частности, граница может содержать произвольный плоский кусок, лежащий в и удаленный на положительное расстояние от

Для обобщения результата предыдущей леммы на области с неплоским граничным куском нам потребуются нормы и полунормы, обобщающие (4.29). Пусть — открытое множество в граница которого содержит кусок класса Для положим

а для функций и определим следующие величины:

Если то эти величины совпадают с внутренними полунормами и нормами, введенными ранее в (4.17) и (4.18).

Пусть ограниченная область, граница которой содержит кусок класса Пусть где область, которая диффеоморфизмом класса а отображается на Пусть Определим в и величины (6.28). Если то, очевидно,

для всех точек где постоянная К зависит от Положив при преобразовании и используя неравенства (6.29),

получаем

В этих неравенствах через К обозначены постоянные, зависящие от отображения и области

Лемма 6.4 вместе с неравенствами (6.30) может быть теперь использована для получения локальной граничной оценки в общем случае, когда граница содержит неплоские куски. При этом удобно пользоваться глобальными нормами (4.6).

Лемма 6.5. Пусть область в класса а и пусть функция и является решением задачи на с правой частью Предположим, что коэффициенты оператора удовлетворяют условиям (6.2) и выполнены неравенства

Тогда при некотором для каждой точки в шаре справедлива оценка

с постоянной

Доказательство. В силу определения области класса а для каждой точки существует окрестность этой точки и существует диффеоморфизм класса выпрямляющий границу в Пусть Положим и плоский кусок границы При преобразовании пусть и где

а

Отметим, что в выполняется неравенство

где

с зависящей только от преобразования на В положительной постоянной К. В силу (6.30) также имеем (с выбранной в (6.33) постоянной)

Тем самым для уравнения области граница которой содержит плоский кусок выполнены условия леммы 6.4. Следовательно, справедлива оценка

с постоянной Из (6.30) следует, что

с постоянной С, зависящей теперь от Полагая и замечая, что

получаем оценку

В полученных оценках радиус зависит, вообще говоря, от точки Рассмотрим теперь совокупность шаров для всех Конечное подмножество этой совокупности покрьюает границу Пусть наименьший из радиусов входящих в это конечное покрытие шаров. Мы утверждаем, что для этого справедливо утверждение леммы. Действительно, путь постоянная в (6.35), соответствующая точке и пусть Рассмотрим произвольную точку и шар Для некоторого будет выполнено соотношение следовательно, Из (6.35) получаем требуемую оценку

с постоянной С, зависящей от .

Подчеркнем, что в лемме 6.5 зависимость постоянной С от области описывается через постоянную К из (6.30), (6.33) и (6.34), а постоянная К, в свою очередь, зависит только от нормы в пространстве преобразования которое определяет локальное представление границы 912. Если эти нормы преобразований могут быть оценены равномерно по

границе (что всегда имеет место для областей класса то в формулировке оценки (6.32) зависимость от можно заменить на зависимость от К, а область может быть даже неограниченной.

Основным результатом этого раздела является следующая априорная глобальная оценка в областях класса решений с граничными значениями из

Теорема 6.6. Пусть область в класса а функция и является решением в уравнения правая часть которого принадлежит а коэффициенты удовлетворяют неравенствам

с положительными постоянными предположим, на Тогда справедлива оценка

с постоянной

Доказательство. Достаточно доказать теорему для случая на Действительно, еслимы введем функцию у, то на Оценка (6.36) для функции и, удовлетворяющей нулевому граничному условию, имеет вид

Так как то мы можем записать, что

а это и утверждается в теореме.

Далее будем считать, что на Пусть Рассмотрим две возможности:

(i) для некоторой точки причем - радиус из леммы 6.5;

В случае (i) из леммы 6.5 следует, что

(здесь и далее, поскольку это не вызывает недоразумений, мы опускаем букву . В случае (ii) мы получаем такое же неравенство, но с другой постоянной С, в силу следствия 6.3; в (6.23) следует взять Выбирая наибольшую из двух постоянных, мы получаем оценку (6.37) для любой точки х из Тем самым получается оценка и для

Пусть теперь х, у — различные точки из Рассмотрим три возможности:

(i) для некоторого

(iii) хотя бы одна из точек х или у лежит в ни для какой точки обе точки х и у не лежат в одном шаре

Этими случаями исчерпываются все возможности.

Рассмотрим отношение

В случае (i) к требуемому неравенству

приводит лемма 6.5.

В случае (ii) получаем такое же неравенство, но с другой постоянной из следствия 6.3.

В случае и поэтому

в силу (6.37). Полагая и беря точную верхнюю грань по всем мы получаем Объединяя этот результат с вытекающей из (6.37) оценкой получаем и доказывает теорему.

3 амечание. Типичным является применение теоремы 6.6 к множеству решений уравнения или семейства уравнений, каждое решение которых удовлетворяет равномерной оценке (6.36). Ограниченность в множества решений влечет его предкомпактность в (см. лемму 6.36).

Несложная модификация доказательства теоремы 6.6 приводит к следующей локальной оценке в области, имеющей кусок границы класса

Следствие 6.7. Пусть область, имеющая кусок границы класса и пусть и решение уравнения удовлетворяющее условию на где удовлетворяют условиям теоремы 6.6. Тогда для каждой шара радиуса имеет место оценка

с постоянной

Непосредственным развитием установленных в этом и предыдущем разделах оценок являются аналогичные оценки производных более высокого порядка решений уравнений, коэффициенты и правые части которых являются функциями класса где (см. задачи 6.1, 6.2).