15.2. Общий случай

Техника, применяемая в этом разделе, по существу является развитием техники предыдущего раздела и использует вспомогательные функции. Предположим сначала, что функция и является решением в класса уравнения (15.1). Обозначим: Пусть строго возрастающая функция, принадлежащая где По функции и определим функцию и равенством Имеем:

Поэтому (см. также (14.4))

Пусть Применим оператор к уравнению (15.17). Получим

Ввведем дифференциальный оператор 6, определенный на функциях и равный

Пусть

Учитьшая соотношения

получаем следующее уравнение:

Уравнение (15.21) можно объединить с уравнением (15.17). Возьмем в качестве произвольные скалярные функции на и прибавим к уравнению (15.21) уравнение (15.17), умноженное на Получим:

Удобно старшие коэффициенты представить в виде

где матрица симметрична и положительно определена. Ясно, что представление (15.2) с положительно определенной матрицей является частным случаем, представления (15.23). Кроме того, старшие коэффициенты произвольного эллиптического оператора всегда могут быть записаны в виде (15.23), если просто положить Действительно, выбор нетривиальных для предстоящего применения к равномерно эллиптическим уравнениям не дает никакого выиграша. Однако для уравнения минимальных поверхностей представление вида (15.23) с матрицей пропорциональной единичной матрице, играет решающую роль при получении глобальных оценок градиента.

Подставим соотношение (15.23) в уравнение (15.22). Получим:

Оцениваем по неравенству Коши

где X - минимальное собственное значение матрицы Отсюда, подставляя в (15.24), приходим, наконец, к неравенству

с коэффициентами определенными равенствами

где

Чтобы получить глобальную оценку градиента решения и, выберем функции так, чтобы при достаточно большом значении выполнялись неравенства:

Если вьшолнено (15.28), то из слабого принципа максимума, теорема 3.1, следует, что

следовательно,

Сделаем следующее замечание: оценка (15.29) имеет место, если решение и предполагается принадлежащим только . В этом случае уравнение (15.18) остается справедливым в слабой форме:

для всех (см. раздел 13.3 или 14.1). Применяя такие же рассуждения, что и ранее для случая из (15.30) выводим слабую форму неравенства (15.25), а именно

для всех неотрицательных функций . Оценка (1529) следует тогда из слабого принципа максимума, теорема

Перечислим теперь условия на коэффициенты оператора обеспечивающие выполнение неравенства (1528) для некоторых Чтобы обеспечить ограниченность сверху величин введем следующие

структурные условия:

Предельное поведение понимается здесь как равномерное для Определим числа

В этом случае неравенство (15.28) следует из дифференциального нераг венства Риккати

выполняющегося на отрезке с некоторым положительным числом Чтобы получить из решения х этого неравенства вспомогательную функцию воспользуемся соотношением Заметим, что неравенство (1534) может не иметь решения при произвольных если величина не является достаточно малой (см. задачу 15.1). Однако неравенство имеет решение, когда или или Рассмотрим два важных случая (случай оставляем читателю, см. задачу 15.2), Мы упростим вычисления, полагая Тогда если функция х удовлетворяет неравенству (15.34), то функцию можно определить из уравнения

(i) а < 0. Если выполняется строгое неравенство и если выбрано так, что с то квадратное уравнение имеет положительный вещественный корень Если взять то неравенство (1534) будет выполнено. Следовательно, и поэтому

Если же неравенство (15.34) имеет место для функции

В этом случае

(ii) с < 0. Если мы можем взять с некоторой постоянной как и в случае Если то неравенство (15.34) удовлетворяется для достаточно малых значений если взять в этом случае

Отметим, что в рассмотренных выше случаях функция монотонно возрастает, и следовательно, в оценке (1529) имеем: тахф

Итогом этого раздела является следующая теорема. Теорема 15.2. Пусть функция удовлетворяет уравнению (15,1) в ограниченной области Предположим, что оператор эллиптичен в и что существуют скалярные множители такие, что выполнены структурные условия (1532) вместе или с условием или с условием (числа с определены в (15 21) и ( Тогда справедлива оценка

с постоянной С, зависящей от величин, входящих в (15.32), от

Проиллюстрируем теорему 152 на некоторых важных частных случаях.

(i) Равномерно эллиптические уравнения. Если оператор равномерно эллиптичен в если при условия (15.32), в которых относят к так называемым естественным условиям (см, [147]), Если мы немного усилим эти условия, требуя, чтобы

то следовательно, решения класса уравнения удовлетворяют априорной оценке градиента. В следующем разделе мы покажем, что ограничение (1536) не является необходимым.

(ii) Уравнение поверхностей с заданной средней кривизной. Записав уравнение (10.7) в виде

где мы можем взять

и, осуществив вычисления, получить:

Поэтому

Отсюда, в силу случая теоремы 15.2, следует глобальная оценка градиента решений класса . В частности, с помощью оценки (15,29) получается оценка

где постоянные.

(iii) Уравнения, у которых . В предыдущем разделе мы видели, что если уравнение (15.1) является уравнением Эйлера-Лагранжа для кратного интеграла вида (15.3) или если размерность равна 2, то можно взять Используя (15.27), получим в этом случае

Полагая

Отметим, что те же самые формулы имеют место в случае, когда как в этом случае