Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 15.2. Общий случайТехника, применяемая в этом разделе, по существу является развитием техники предыдущего раздела и использует вспомогательные функции. Предположим сначала, что функция и является решением в
Поэтому (см. также (14.4))
Пусть
Ввведем дифференциальный оператор 6, определенный на функциях
Пусть
Учитьшая соотношения
получаем следующее уравнение:
Уравнение (15.21) можно объединить с уравнением (15.17). Возьмем в качестве
Удобно старшие коэффициенты
где Подставим соотношение (15.23) в уравнение (15.22). Получим:
Оцениваем по неравенству Коши
где X - минимальное собственное значение матрицы
с коэффициентами
где
Чтобы получить глобальную оценку градиента решения и, выберем функции
Если вьшолнено (15.28), то из слабого принципа максимума, теорема 3.1, следует, что
следовательно,
Сделаем следующее замечание: оценка (15.29) имеет место, если решение и предполагается принадлежащим только
для всех
для всех неотрицательных функций Перечислим теперь условия на коэффициенты оператора структурные условия:
Предельное поведение понимается здесь как равномерное для
В этом случае неравенство (15.28) следует из дифференциального нераг венства Риккати
выполняющегося на отрезке (i) а < 0. Если выполняется строгое неравенство
Если же
В этом случае
(ii) с < 0. Если
Отметим, что в рассмотренных выше случаях функция Итогом этого раздела является следующая теорема.
с постоянной С, зависящей от величин, входящих в (15.32), от Проиллюстрируем теорему 152 на некоторых важных частных случаях. (i) Равномерно эллиптические уравнения. Если оператор
то (ii) Уравнение поверхностей с заданной средней кривизной. Записав уравнение (10.7) в виде
где
и, осуществив вычисления, получить:
Поэтому
Отсюда, в силу случая
где (iii) Уравнения, у которых
Полагая
Отметим, что те же самые формулы имеют место в случае, когда
|
1 |
Оглавление
|