Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 14.6. Приложение: граничные кривизны и функция расстоянияПусть
Докажем, что функция
Отсюда, меняя местами х и у, получаем неравенство
Пусть
С помощью последующего вращения координат мы можем добиться того, что координатные системе, соответствующей точке
Единичный внутренний вектор нормали
Следовательно, в главной системе координат с центром
Для Лемма 14.16. Пусть область Доказательство. Из условий, наложенных на область
Покажем, что эти соотношения определяют
Ясно, что
Якобиан
и положителен, так как
Выражение для матрицы Гессе функции Лемма 14.17. Пусть область
Доказательство. Так как
учитывая (14.95) и (14.97). Заметим, что утверждение леммы 14.17 геометрически очевидно: соприкасающиеся окружности главных сечений поверхности Средняя кривизна. Получим выражение для средней кривизны поверхности
Пусть
Отсюда следует, что собственные значения матрицы
В частности, если поверхность переменных
то средняя кривизна
Поверхность оназывается минимальной поверхностью в Заметим, что из формулы (14.101) следует формула для суммы квадратов главных кривизн
где
Наконец, гауссова кривизна поверхности в в точке
ПримечанияБольшинство основных идей рассмотренных выше методов получения граничных оценок градиента содержались уже в ранних работах Бернштейна об уравнениях с двумя переменными [25—30]. Именно Бернштейн для аналогичных целей ввел вспомогательные функции, такие как функция Первые заметные результаты для уравнений с более чем двумя переменными были получены Дженкинсом и Серрином [82] (см. теорему 14.14) и Бакельманом [22], [23]. Общая теория, охватывающая много интересных случаев, была развита Серрином [263], см. результаты разделов 14.3 и 14.4. При изложении раздела 14.3 мы использовали некоторые упрощения, принадлежащие Трудингеру [286]. Задачи(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|