14.6. Приложение: граничные кривизны и функция расстояния

Пусть область в имеющая непустую границу Функцией расстояния называется функция

Докажем, что функция равномерно непрерывна по Липшицу. Пусть Выберем точку такую, что Тогда

Отсюда, меняя местами х и у, получаем неравенство

Пусть Для точки через обозначим внутреннюю нормаль к в точке у и соответственно касательную плоскость к в точке у. Кривизны в точке определяются следующим образом. Поворотом координат мы можем добиться того, что координатная ось будет иметь направление, совпадающее с направлением В некоторой окрестности точки граница имеет тогда уравнение видахл где Кривизна в точке описьшается через ортогональные инварианты матрицы Гессе вычисленной в точке Собственные значения матрицы обозначим через Они называются главными кривизнами в точке Соответствующие им собственные векторы определяют так называемые главные направления в точке . Средняя кривизна в точке определяется равенством

С помощью последующего вращения координат мы можем добиться того, что координатные будут направлены вдоль главных направлений, соответствующих главным кривизнам в точке Такая координатная система называется главной координатной системой с центром Матрица Гессе главной координатной

системе, соответствующей точке имеет диагональный вид

Единичный внутренний вектор нормали в каждой точке определяется по формулам

Следовательно, в главной системе координат с центром имеем

Для определим . В следующей лемме устанавливается свзяь между порядками гладкости функции расстояния на и границы

Лемма 14.16. Пусть область ограничена, Тогда существует положительная постоянная зависщая от такая,

Доказательство. Из условий, наложенных на область следует, что граница удовлетворяет равномерному условию внутренней сферы, т. е. для каждой точки существует шар В, зависящий от такой, что и радиусы шаров В ограничены снизу положительной постоянной, которую мы и обозначим через Нетрудно показать, что числом ограничиваются главные кривизны Итак, для каждой точки существует единственная точкам такая, что Точки связаны соотношением

Покажем, что эти соотношения определяют как функции от х класса Для фиксированной точки найдем точку и введем главную координатную систему в точке Определим преобразование равенством

Ясно, что а матрица Якоби в точке имеет диагональный вид

Якобиан в точке равен

и положителен, так как Следовательно, в силу теоремы о неявной функции, в некоторой окрестности отображение у принадлежит Из (14.96) следует, что

для Поэтому следовательно,

Выражение для матрицы Гессе функции в точках вблизи следует непосредственно из доказательства леммы 14.16.

Лемма 14.17. Пусть область и число удовлетворяют условиям леммы 14.16. Пусть точки таковы, что Тогда в главной координатной системе с центром имеет место равенство

Доказательство. Так как , то Чтобы вычислить другие производные, запишем для равенства

учитывая (14.95) и (14.97).

Заметим, что утверждение леммы 14.17 геометрически очевидно: соприкасающиеся окружности главных сечений поверхности в точке и соприкасающиеся окружности главных сечений в точке параллельной поверхности, проходящей через точку являются концентрическими.

Средняя кривизна. Получим выражение для средней кривизны поверхности класса . Пусть Предположим, что в окрестности точки поверхность задана уравнением где Единичная нормаль к в точке (направленная в область положительных значений функции определяется формулой

Пусть — главные кривизны точке Тогда в главной системе координат с центром выполняются равенства

Отсюда следует, что собственные значения матрицы в точке в исходной системе координат равны и поэтому средняя кривизна в точке определяется по формуле

В частности, если поверхность графиком в функции

переменных определяется уравнением

то средняя кривизна в точке вычисляется по формуле

Поверхность оназывается минимальной поверхностью в если для всех

Заметим, что из формулы (14.101) следует формула для суммы квадратов главных кривизн в точке

где

Наконец, гауссова кривизна поверхности в в точке определяется формулой

Примечания

Большинство основных идей рассмотренных выше методов получения граничных оценок градиента содержались уже в ранних работах Бернштейна об уравнениях с двумя переменными [25—30]. Именно Бернштейн для аналогичных целей ввел вспомогательные функции, такие как функция в (14.4), а также рассмотрел вопросы неразрешимости. Работы Бернштейна для двух переменных были продолжены Лере [158], который рассмотрел также связь между разрешимостью задачи Дирихле в области и геометрической природой ее границы Финн показал, что выпуклость является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи Дирихле для уравнения минимальных поверхностей с двумя переменными [304], [306].

Первые заметные результаты для уравнений с более чем двумя переменными были получены Дженкинсом и Серрином [82] (см. теорему 14.14) и Бакельманом [22], [23]. Общая теория, охватывающая много интересных случаев, была развита Серрином [263], см. результаты разделов 14.3 и 14.4. При изложении раздела 14.3 мы использовали некоторые упрощения, принадлежащие Трудингеру [286].

Задачи

(см. скан)

(см. скан)