17.3. Уравнения с двумя переменными

Для вполне нелинейных уравнений с двумя переменными оценки Гёльдера градиента из разделов и 13.2 позволяют априорную оценку, требующуюся для выполнения условия (iii) в теореме 17.8, свести к оценке Чтобы убедиться в этом, предположим, что функция и является решением в уравнения (17.1). Продифференцируем уравнение по переменной Получим уравнение

где аргументами у функций являются Обозначим Используя обозначения предыдущего раздела, уравнение (17.23) можно записать в виде

Следовательно, если оператор эллиптичен на функции и, то первые производные и являются решениями линейного эллиптического в уравнения. Соответственно, взяв и считая, что числа таковы, что выполняются неравенства

для всех ненулевых мы из теоремы или теоремы 13.3 получаем следующий результат.

Теорема 17.9. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению функция оператор эллиптичен на функции . Пусть выполнены неравенства (17.24). Тогда в любой области выполняется оценка

где постоянные С и а. зависят только от

Для получения аналогичной глобальной оценки мы рассмотрим сначала общий случай . Предположим,что на где Зафиксировав точку выпрямим кусок границы лежащий в шаре с центром с помощью взаимнооднозначного отображения шара В на открытое множество такого, что выполняются условия:

Обозначая

получаем

Используя (17.23), в приходим к уравнению

Следовательно, если и выполнены условия теоремы 17.9, то рассуждая так же, как в разделах или в разделах 13.1 и 13.2, получим оценку Гёльдера для в окрестности точки при Кроме того, в произвольной области где будет выполняться неравенство

где Используя уравнение (17.26) для получаем

Отсюда следует требуемая оценка Гёльдера с помощью оценки Морри (теорема 7.19).

Теорема 17.10. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению причем оператор эллиптичен на функции выполняется условие (17.24). Тогда справедлива оценка

где зависят только от

В качестве следствия теоремы 17.10 (и результата о регулярности, лемма 17.16) пространство в условии (iii) теоремы 17.8 можно заменить на пространство если только

Для некоторых уравнений требуемая оценка вторых производных может быть получена с помощью интерполяции подобно тому, как оценивались первые производные в гл. Действительно, пусть выполнены

следующие структурные условия:

для всех ненулевых где X — невозрастающая функция а Ли неубывающие функции . В этом случае оценки (17.25) и (17.26) выполняются с где и 1 Следовательно, применив интерполяционные неравенства (леммы 6.32 и 6.35), можно оценить нормы через

Теорема 17.11. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению Предположим, что выполнены структурные условия (17.29). Тогда справедлива внутренняя оценка

где показатель зависит только от а постоянная С зависит от Если, дополнительно, и на где то справедлива глобальная оценка

с постоянной зависящей от и постоянной С, зависящей от и

Отметим, что условия теорем 17.8, 17.9 и 17.10 можно ослабить и заменить на условия:

(вместе со структурными условиями (17.24), (17.28), выполняющимися почти всюду в соответственно). Дифференцирование уравнения (17.1) осуществляется с помощьщ, обобщенного цепного правила (теорема 7.8). Структурные условия (17.29) можно также ослабить и заменить условиями, соответствующими естественным условиям для квазилинейных уравнений (см. примечания).

Объединив теоремы 17.3, 17.8 и 17.11, получаем теорему о разрешимости задачи Дирихле.

Теорема 17.12. Пусть ограниченная область в с границей и пусть Пусть в выполняются неравенство и структурные условия (17.29). Тогда классическая задача Дирихле на однозначно разрешима и решение и принадлежит для всех

Подчеркнем, что для возможности прямого применения теоремы 17.8 требуется гладкость функции более сильное утверждение теоремы 17.12 доказывается при помощи аппроксимации функции и оценки (17.31). Аналогичные аппроксимации приводят к теореме существования для уравнений типа уравнений Беллмана — Пуччи, которые мы рассмотрим в разделе 17.5.