17.3. Уравнения с двумя переменными
Для вполне нелинейных уравнений с двумя переменными оценки Гёльдера градиента из разделов
и 13.2 позволяют априорную оценку, требующуюся для выполнения условия (iii) в теореме 17.8, свести к оценке
Чтобы убедиться в этом, предположим, что функция и
является решением в
уравнения (17.1). Продифференцируем уравнение по переменной
Получим уравнение
где аргументами у функций
являются
Обозначим
Используя обозначения предыдущего раздела, уравнение (17.23) можно записать в виде
Следовательно, если оператор
эллиптичен на функции и, то первые производные и являются решениями линейного эллиптического в
уравнения. Соответственно, взяв
и считая, что числа
таковы, что выполняются неравенства
для всех ненулевых
мы из теоремы
или теоремы 13.3 получаем следующий результат.
Теорема 17.9. Пусть функция и
удовлетворяет в
уравнению
функция
оператор
эллиптичен на функции
. Пусть выполнены неравенства (17.24). Тогда в любой области
выполняется оценка
где постоянные С и а. зависят только от
Для получения аналогичной глобальной оценки мы рассмотрим сначала общий случай
. Предположим,что
на
где
Зафиксировав точку
выпрямим кусок границы
лежащий в шаре
с центром
с помощью взаимнооднозначного отображения
шара В на открытое множество
такого, что выполняются условия:
следующие структурные условия:
для всех ненулевых
где X — невозрастающая функция
а Ли
неубывающие функции
. В этом случае оценки (17.25) и (17.26) выполняются с
где
и 1 Следовательно, применив интерполяционные неравенства (леммы 6.32 и 6.35), можно оценить нормы
через
Теорема 17.11. Пусть функция и
удовлетворяет в
уравнению
Предположим, что выполнены структурные условия (17.29). Тогда справедлива внутренняя оценка
где показатель
зависит только от
а постоянная С зависит от
Если, дополнительно, и
на
где
то справедлива глобальная оценка
с постоянной
зависящей от
и постоянной С, зависящей от
и
Отметим, что условия теорем 17.8, 17.9 и 17.10 можно ослабить и заменить на условия:
(вместе со структурными условиями (17.24), (17.28), выполняющимися почти всюду в
соответственно). Дифференцирование уравнения (17.1) осуществляется с помощьщ, обобщенного цепного правила (теорема 7.8). Структурные условия (17.29) можно также ослабить и заменить условиями, соответствующими естественным условиям для квазилинейных уравнений (см. примечания).
Объединив теоремы 17.3, 17.8 и 17.11, получаем теорему о разрешимости задачи Дирихле.
Теорема 17.12. Пусть
ограниченная область в
с границей
и пусть
Пусть в
выполняются неравенство
и структурные условия (17.29). Тогда классическая задача Дирихле
на
однозначно разрешима и решение и принадлежит
для всех
Подчеркнем, что для возможности прямого применения теоремы 17.8 требуется гладкость функции
более сильное утверждение теоремы 17.12 доказывается при помощи аппроксимации функции
и оценки (17.31). Аналогичные аппроксимации приводят к теореме существования для уравнений типа уравнений Беллмана — Пуччи, которые мы рассмотрим в разделе 17.5.