Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка

Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: Пер. с англ. / Под. ред. А.К. Гущина. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 464 с.

Посвящается изложению теории квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка, в основном задачи Дирихле в ограниченных областях.

Состоит из двух частей: линейные уравнения и квазилинейные уравнения.

Включается большой разнородный материал, значительная часть которого в монографии излагается впервые: современное изложение неравенства Харнака, оценки Морри и Джона - Ниренберга, теоремы Лере - Шаудера, значительная часть результатов о квазилинейных уравнениях.

Для специалистов в области дифференциальных уравнений. Доступна аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся в данной области.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
2.1. Неравенства для средних значений
2.2. Принцип максимума и минимума
2.3. Неравенство Харнака
2.4. Представление Грина
2.5. Интеграл Пуассона
2.6. Теоремы о сходимости
2.7. Внутренние оценки производных
2.8. Задача Дирихле; метод субгармонических функций
2.9. Емкость
ГЛАВА 3. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА
3.1. Слабый принцип максимума
3.2. Сильный принцип максимума
3.3. Априорные оценки
3.4. Оценки градиента решения уравнения Пуассона
3.5. Неравенство Харнака
3.6. Операторы в дивергентной форме
ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА И НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
4.1. Непрерывность по Гёльдеру
4.2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона
4.3. Оценки Гельдера вторых производных
4.4. Оценки вблизи границы
4.5. Оценки Гёльдера первых производных
ГЛАВА 5. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
5.1. Принцип сжимающих отображений
5.2. Метод продолжения по параметру
5.3. Альтернатива Фредгольма
5.4. Сопряженные пространства и сопряженные операторы
5.5. Гильбертовы пространства
5.6. Теорема о проекции
5.7. Теорема представления Рисса
5.8. Теорема Лакса — Мильграма
5.9. Альтернатива Фредгольма в гильбертовых пространствах
5.10. Слабая компактность
ГЛАВА 6. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ; МЕТОД ШАУДЕРА
6.1. Внутренние оценки Шаудера
6.2. Граничные и глобальные оценки
6.3. Задача Дирихле
6.4. Внутренняя регулярность и регулярность вблизи границы
6.5. Другой метод
6.6. Неравномерно эллиптические уравнения
6.7. Другие граничные условия; задача с косой производной
6.8. Приложение 1. Интерполяционные неравенства
6.9. Приложение 2. Леммы о продолжении
ГЛАВА 7. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
7.2. Осреднение и аппроксимация гладкими функциями
7.3. Слабые производные
7.4. Цепное правило
7.5. Пространства …
7.6. Теоремы о плотности
7.7. Теоремы вложения
7.8. Оценки потенциалов и теоремы вложения
7.9. Оценки Морри и Джона – Ниренберга
7.10. Теоремы о компактности
7.11. Разностные отношения
7.12. Продолжение и интерполяция
ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ИХ РЕГУЛЯРНОСТЬ
8.1. Слабый принцип максимума
8.2. Разрешимость задачи Дирихле
8.3. Дифференцируемость слабых решений
8.4. Глобальная регулярность
8.5. Глобальная ограниченность слабых решений
8.6 Локальные свойства слабых решений
8.7. Сильный принцип максимума
8.8. Неравенство Харнака
8.9. Непрерывность по Гёльдеру
8.10. Локальные оценки вблизи границы
8.11. Оценки Гёльдера первых производных
8.12. Задача на собственные значения
ГЛАВА 9. СИЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
9.1. Принцип максимума для сильных решений
9.2. Оценки в Lp; предварительный анализ
9.3. Интерполяционная теорема Марцинкевича
9.4. Неравенство Кальдерона — Зигмунда
9.5. Оценки в Lp
9.6. Задача Дирихле
9.7. Локальный принцип максимума
9.8. Оценки Гёльдера и неравенство Харнака
9.9. Локальные оценки вблизи границы
9.10. Граничные оценки Гёльдера градиента
ЧАСТЬ II. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛАВА 10. ПРИНЦИПЫ МАКСИМУМА И СРАВНЕНИЯ
10.1 Принцип сравнения
10.2. Принципы максимума
10.3. Контрпример
10.4. Принципы сравнения для операторов в дивергентной форме
10.5. Принципы максимума для операторов в дивергентной форме
ГЛАВА 11. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
11.1. Теорема Шаудера о неподвижной точке
11.2. Теорема Лере — Шаудера; специальный случай
11.3. Применение
11.4. Теорема Лере-Шаудера о неподвижной точке
11.5. Вариационные задачи
ГЛАВА 12. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
12.2. Оценки Гёльдера градиента решения для линейных уравнений
12.3. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений
12.4. Неравномерно эллиптические уравнения
ГЛАВА 13. ОЦЕНКИ ГЁЛЬДЕРА ГРАДИЕНТА
13.2. Уравнения с двумя переменными
13.3. Уравнения общего вида; внутренняя оценка
13.4. Уравнения общего вида; граничная оценка
13.5. Применение к задаче Дирихле
ГЛАВА 14. ГРАНИЧНЫЕ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТА
14.1. Общие области
14.2. Выпуклые области
14.3. Условия на кривизны границы
14.4. Результаты о несуществовании
14.5. Оценки модуля непрерывности
14.6. Приложение: граничные кривизны и функция расстояния
ГЛАВА 15. ГЛОБАЛЬНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТА
15.2. Общий случай
15.3. Внутренние оценки градиента
15.4. Уравнения в дивергентной форме
15.5. Избранные теоремы существования
15.6. Теоремы существования для непрерывных граничных данных
ГЛАВА 16. УРАВНЕНИЯ ТИПА УРАВНЕНИЯ СО СРЕДНЕЙ КРИВИЗНОЙ
16.2. Внутренние оценки градиента
16.3. Применение к задаче Дирихле
16.4. Уравнения с двумя независимыми переменными
16.5. Квазиконформные отображения
16.6. Графики с квазиконформным гауссовым отображением
16.7. Приложения к уравнениям типа уравнений со средней кривизной
16.8. Дополнение: эллиптические параметрические функционалы
ГЛАВА 17. ВПОЛНЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
17.1. Принципы максимума и сравнения
17.2. Метод непрерывного продолжения по параметру
17.3. Уравнения с двумя переменными
17.4. Оценки Гёльдера вторых производных
17.5. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений
17.6. Оценка вторых производных для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера
17.7. Задача Дирихле для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера
17.8. Глобальные оценки Гёльдера вторых производных
17.9. Нелинейные граничные задачи
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка

Оглавление