5.1. Принцип сжимающих отображений

Отображение линейного нормированного пространства V в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число что

Теорема 5.1. Сжимающее отображение банахова пространства имеет единственную неподвижную точку, т.е. существует единственное решениеуравнения

Доказательство. (Метод последовательных приближений.) Пусть Определим последовательность равенствами

Тогда в силу неравенства треугольника и сжимаемости отображения имеем для

Следовательно, последовательность является последовательностью

Коши; а так как пространство полно, то она сходится к элементу Ясно, что является непрерывным преобразованием; поэтому

т.е. неподвижная точка 53. Единственность х следует непосредственно из (5.1).

В утверждении теоремы 5.1 пространство может быть, очевидно, заменено на любое его замкнутое подмножество.