12.3. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений

В этом разделе мы докажем теорему существования с помощью процедуры, являющейся вариантом рассуждений, кратко описанных в гл. 11. Для рассматриваемой здесь задачи Дирихле детали доказательства более просты, чем в задачах, рассматриваемых далее, и некоторые шаги программы, описанной в гл. 11, могут быть опущены.

Рассмотрим задачу Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений общего вида

определенных в ограниченной области расположенной на плоскости. Будем предполагать, что оператор удовлетворяет условиям:

(i) функциия определены для всех из кроме того, с некоторым .

(ii) оператор равномерно эллиптичен в если ограничены значения и. Это значит, что собственные значения матрицы коэффициентов удовлетворяют неравенствам

где — неубывающая функция;

(iii) функция удовлетворяет структурным условиям вида

где неубьюающая функция, неотрицательная постоянная.

В линейных уравнениях эти условия являются условиями на младшие члены. Уравнения, удовлетворяющие (12.28), рассматривались в гл. 10. Докажем следующую теорему существования.

Теорема 12.5. Пусть область в удовлетворяющая условию внешней окружности, и пусть функция непрерывна на Тогда если эллиптический квазилинейный оператор удовлетворяет условиям то задача Дирихле

имеет решение и

Доказательство. Докажем сначала теорему при более сильном, нежели

Рассуждения используют сведение к теореме Шаудера о неподвижной точке (теорема 11.1). Чтобы определить преобразование фигурирующее в этой теореме, сделаем следующее наблюдение. Пусть произвольная ограниченная функция с локально непрерывными по Гёльдеру в первыми производными и пусть функции, локально непрерывные по Гёльдеру в получающиеся после подстановки на место и в коэффициенты оператора Так как функция ограничена, то из теоремы 6.13 следует, что линейная задача Дирихле

имеет единственное решение и Отметим, на основании

теоремы 3.7, что

Кроме того, если и если то из теоремы 12.4 следует, что

Особо подчеркнем, что эта оценка зависит только от верхней грани функции и, участвующей в определении коэффициентов уравнения (12.31).

Введем банахово пространство

где а — показатель Гёльдера из (12.32). Отображение множества

определяем равенством где единственное решение линейной задачи Дирихле (12.31), построенной по функции Из (12.32) и оценки следует, что и и поэтому отображает в в себя. Так как множество в выпукло и замкнуто в банаховом пространстве

то, доказав, что отображение непрерывно в образ предкомпактен в из теоремы Шаудера о неподвижной точке (следствие ) получаем, что оператор имеет в неподвижную точку: Таким образом доказывается существование решения задачи (12.29) при условии (12.30).

Для доказательства предкомпактности множества сначала заметим, множество а следовательно, и , равностепенно непрерывно в каждой точке Мы утверждаем, что функции множества также равностепенно непрерывны в каждой точке Чтобы убедиться в этом, возьмем барьер построенный в доказательстве теоремы 6.13. Функция зависит только от модуля эллиптичности (в уравнении (12.31)) и радиуса внешней окружности для точки Функция такова, что для любого существует некоторая постоянная не Зависящая от такая, что решение уравнения (12.31) удовлетворяет в неравенству

Так как при то отсюда и следует равностепенная непрерывность множества в точке Таким образом, функции множества равностепенно непрерывны на Так как ограниченное равностепенно непрерьюное множество в то оно предкомпактно в (см. лемму 6.33).

Непрерьюность доказывается аналогично. Пусть Предположим, что при Рассмотрим и последовательность Покажем, что и

Из внутренних оценок Шаудера и замечания к следствию 6.3 следует, что некоторая подпоследовательность последовательности сходится равномерно вместе с первыми и вторыми производными на компактных подмножествах к функции й, являющейся решением в предельного уравнения (12.31), коэффициенты которого получаются из коэффициентов оператора после замены в них функции и функцией и. Мы утверждаем, что для всех Отсюда (в силу единственности) следует, что . С помощью барьеров, подобно тому, как это делалось ранее, можно доказать неравенство (12.33) с вместо и. Из него следует, что при Таким образом, на для подпоследовательности

Так как подпоследовательность вложена в , а множество предкомпактно в то некоторая подпоследовательность сходится к по норме С. Такое же рассуждение, повторенное для произвольной подпоследовательности последовательности показывает, что для всей последовательности. Тем самым доказывается непрерьюность на как уже отмечалось ранее, мы можем утверждать существование в неподвижной точки

Итак, теорема доказана в специальном случае: функция ограничена на в частности, если

Вернемся теперь к исходному условию Будем далее считать, что их, Этого всегда можно добиться, поделив функции на . В этом случае неравенства (12.27) и (12.28) принимают вид

Чтобы свести исходную задачу (12.29) к рассмотренному случаю ограниченной функции будем пользоваться усеченной функцией Именно, пусть функция, определяемая равенствами

Усеченную функцию определим формулой

Из (12.34) следует, что Рассмотрим теперь семейство задач

В силу (12.35) и теоремы 10.3 любое решение и из этого семейства задач удовлетворяет оценке, не зависящей от вида

Из проведенного выше исследования задачи (12.3) с ограниченной

функцией вытекает, что задача (12.36), в которой функцияограничена, имеет решение и Кроме того, из теоремы следует, оценка

где . В силу (12.34) и (12.37) отсюда получается оценка

Применив интерполяционное неравенство (12.23) с постоянной получаем равномерную оценку, не зависящую от

В силу этой оценки и внутренних оценок Шаудера (следствие 6.3), примененных к семейству уравнений на компактных подмножествах, существует подпоследовательность которая в сходится к решению и уравнения и это решение удовлетворяет оценке (12.39).

Осталось показать, что функция и удовлетворяет также и граничному условию Для этой цели используем барьеры, подобные тем, которые использовались ранее. В силу (12.34) и (12.37) каждое решение является решением линейного уравнения

где а функции ограничены равномерно по . К этому семейству уравнений для произвольной точки применима барьерная техника подобно тому, как это было сделано в доказательстве теоремы 6.13, причем барьер можно взять таким же, как в (6.45). Он зависит только от и радиуса внешней окружности для точки Таким образом, для любого существует постоянная не зависящая от такая, что справедливо неравенство

Устремляя получаем аналогичное неравенство для и, из которого следует, что Этим завершается доказательство теоремы.

Замечания. (1) Доказательство предыдущей теоремы основано только на внутренних оценках производных, что допускает более общие условия на коэффициенты и граничные данные. Используя глобальные оценки и немного модифицируя доказательство, можно доказать существование решений класса в случае, когда и принадлежат (см. задачу ). При тех же самых условиях решение, существование которого установлено теоремой принадлежит Чтобы убедиться в этом, мы сначала заметим, что если на где то уравнение после подстановки и в его коэффициенты имеет коэффициенты, принадлежащие . В силу глобальных оценок для линейных уравнений, приведенных в конце раздела решение и принадлежит

с некоторым а. Следовательно, коэффициенты принадлежат Отсюда в силу теоремы 6.14 и теоремы единственности вытекает, что и а это и означает, что коэффициенты принадлежат Следовательно, что и утверждалось.

(2) Условие (12.28) было наложено для получения равномерной оценки на разброс всех возможных значений решений задачи Дирихле для уравнения Если такая оценка известна априори, то условие (12.28) может быть опущено.

(3) Условие линейного роста в (12.27) функции необходимо для получения оценки (12.39) с помощью интерполяционного неравенства для через Если априорная оценка градиента решения известна для семейства уравнений то это условие роста может быть опущено (такие примеры мы будем обсуждать в гл. 15).

(4) Требование, что область удовлетворяет условию внешней окружности, может быть заменено на любое другое условие, гарантирующее существование барьеров для строго эллиптических линейных уравнений у которых и коэффициенты являются ограниченными функциями. Например, достаточно, чтобы область удовлетворяла условию внешнего конуса (см. задачу 6.3).