6.4. Внутренняя регулярность и регулярность вблизи границы

В предыдущих разделах правая часть и коэффициенты оператора предполагались функциями класса Соответствующее решение и уравнения оказывалось принадлежащим классу Теперь мы перейдем к изучению гладкости более высокого порядка и изучим ее зависимость от гладкости правой части и коэффициентов оператора Глобальная регулярность решений будет зависеть также и от гладкости границы и граничных значений.

Сначала покажем, что любое решение уравнения класса является решением класса если правая часть и коэффициенты оператора принадлежат

Лемма 6.16. Пусть - принадлежащее решение на открытом множестве уравнения с коэффициентами и правой частью из Тогда и

Доказательство. Достаточно доказать, что для произвольного шара Пусть В такой шар; рассмотрим в В задачу Дирихле

Так как и то Кроме того, коэффициенты оператора также принадлежат Следовательно, в силу леммы 6.10 существует решение задачи (6.48), и оно принадлежит . В силу единственности решения и задачи (6.48) совпадают в В, т. е.

Подчеркнем, что в предыдущем утверждении и в следующих за ним результатах этого раздела не делается предположения относительно знака коэффициента с.

Из приведенной выше леммы и внутренних опенок Шаудера следует теорема о внутренней регулярности решений.

Теорема 6.17. Пусть и - принадлежащее решение на открытом множестве уравнения с коэффициентами и правой частью из Тогда и Если правая часть и коэффициенты оператора принадлежат то

Доказательство. Утверждение теоремы, соответствующее случаю доказано в лемме 6.16. Докажем его теперь для Пусть v - функция на Обозначим через (единичный) направляющий вектор оси Определим разностное отношение в точке х в направлении равенством

Беря разностное отношение обеих частей уравнения

получим

Все разностные отношения в этом уравнении вычисляются в точке в направлении для некоторого Так как и

то видим, что на любом подмножестве для которого . В частности, если такие шары в что то для При этом справледлива равномерная оценка в с независящей от постоянной. Аналогичные оценки справедливы для разностных отношений которые также принадлежат Так как и (лемма 6.16), то для кроме того, для всех Используя оценку и внутренние оценки следствия 6.3, получаем, что множество функций и их первых и вторых производных ограничено и равностепенно непрерывно в произвольном шаре Следовательно, любая последовательность функций из этих множеств содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся на Так как при то мы можем заключить, что при и что . А так как является произвольным шаром, лежащим вместе со своим замыканием в то и Тем самым мы доказали теорему для

Для доказательства теоремы в случае воспользуемся индукцией по к. Вместе с условиями теоремы и предположим, что и Докажем, что и Так как функция коэффициенты оператора принадлежат то уравнение можно продифференцировать раз. Получим уравнение вида где и мультииндекс, функция равна сумме и конечного числа произведений производных коэффициентов уравнения

порядка не больше и производных и порядков не больше . Ясно, что функция Рассуждая так же, как и в случае устанавливаем, что и и поэтому и что и утверждалось в теореме. Доказательство последнего утверждения теоремы о бесконечной дифференцируемости решений очевидно.

В случае, когда правая часть и коэффициенты оператора являются вещественными аналитическими функциями, любое решение уравнения будет вещественной аналитической функцией. Доказательство этого утверждения можно найти в [326].

Для того чтобы можно было утверждать справедливость аналогичных результатов о регулярности решений вплоть до границы, очевидно, необходимо требовать, чтобы сама граница и граничные значения решений были достаточно гладкими. Прежде чем перейдем к получению таких результатов, мы докажем аналог леммы 6.16.

Лемма 6.18. Пусть граница области содержит кусок класса а функция принадлежит Предположим также, что функция и из удовлетворяет условию и уравнению причем правая часть и коэффициенты строго эллиптического оператора принадлежат Тогда и .

Доказательство. Так как кусок границы принадлежит классу то для каждой точки можно найти граничную окрестность и лежащую в область класса такие, что Кроме того, область может быть выбрана столь малой, что к ней применимо следствие 3.8, а тогда задача Дирихле для уравнения имеет не более одного решения, принадлежащего

Далее доказательство весьма близко к доказательству леммы 6.10. Так как и то мы можем так продолжить граничные значения и с границы на что продолженная функция будет принадлежать где (по поводу построения такой функции . замечание 1 после леммы 6.38). Пусть последовательность функций из такая, что к и для всех При каждом к в силу альтернативы Фредгольма (теорема 6.15) задача Дирихле на имеет единственное решение и оно принадлежит Из следствий 6.3 и 3.8 вытекает, что последовательность сходится к решению и в а в силу следствия 6.7 это решение и где Так как произвольная точка на то отсюда следует, что и

Если коэффициент то предыдущий результат содержится по существу в доказательстве теоремы 6.14. Однако здесь мы не делаем ограничений на знак коэффициента с, и поэтому пришлось соответствующим образом изменить доказательство теоремы 6.14. Другое доказательство, основанное на иных идеях, можно найти в работах, указанных в примечаниях.

Результат леммы 6.18 остается справедливым, если и в ее условиях, и в утверждении принадлежность заменить на принадлежность Соответствующие результаты хорошо известны и в более общем случае (см. [68]).

Используя результат леммы 6.18, мы можем доказать теперь следующую глобальную теорему о разрешимости.

Теорема 6.19. Пусть область класса Предположим, что функция и удовлетворяет уравнению и граничному условию на причем правая часть коэффициенты строго эллиптического оператора принадлежат Тогда

Доказательство. Для утверждение теоремы следует из леммы 6.18. Докажем его для Пусть произвольная граничная точка области Рассмотрим диффеоморфизм класса выпрямляющий границу вблизи точки . С помощью этого отображения мы сводим задачу к случаю уравнения в области граница которой имеет лежащий в гиперплоскости кусок в то время как другие условия остаются неизменными. Рассматривая разность вместо и замечая, что мы можем далее считать, что

Как и в доказательстве теоремы 6.17, возьмем разностное отношение для уравнения в направлении для каждого Получим уравнения вида (6.49), которым удовлетворяют разностные отношения Если то это уравнение выполняется на множестве содержащем плоский кусок Из предположений о правой части и об операторе из равенства на и из условия и следует, что выполнены условия леммы 6.4 для уравнения (6.49) и его решения Дни. Из леммы 6.4 следует, что семейства функций ограничены и равностепенно непрерывны на компактных подмножествах Так как при то мы можем заключить, что для и, кроме того, для Остается только «показать, что . А это следует из равенства и из предыдущих результатов, поскольку правая часть принадлежит . Так как произвольная точка границы то мы в итоге получаем, что и

Доказательство теоремы для осуществляется индукцией по к подобно тому, как это делалось в теореме 6.17, с помощью рассмотрения уравнения, которому удовлетворяет произвольная производная порядка , и тем самым доказательство сводится к случаю рассмотренному выше.

Из предыдущих рассуждений, локальных по существу, следует, что утверждение о регулярности остается справедливым для любого куска границы класса в предположении, что решение непрерывно вплоть до и имеет граничные значения на класса