14.3. Условия на кривизны границы

До сих пор в этой главе мы строили барьеры с помощью функции расстояния до внешней поверхности постоянной кривизны (плоскости или сферы). Кривизна последних является решающим фактором в определении структурных условий, накладываемых на оператор . С помощью привлечения других внешних поверхностей рассмотренные выше условия выпуклости могут быть значительно ослаблены в случае числа измерений, большего 2. Далее предполагаем, что . В качестве подходящей внешней поверхности будем использовать саму границу Полагая в силу леммы 14.16 получаем, что где с некоторым Следовательно, если где то в силу формулы (14.4) для любой функции и имеем

Общие результаты этого раздела хорошо иллюстрируются на специальном операторе уравнения минимальных поверхностей. Пусть

В этом случае

в силу леммы 14.17; здесь средняя кривизна в точке , ближайшей к х. Следовательно, если граница имеет неотрицательную среднюю кривизну всюду, то справедливо неравенство

аналогичное неравенству для выпуклого случая, рассмотренному в предыдущем разделе. Граничная оценка градиента получается далее так же, как и впредыдущем разделе, для произвольных граничных значений класса если следующем разделе мы покажем, что

полученный результат для уравнения минимальных поверхностей является точным. Используя соотношения (14.40) и (14.42), можно получить соответствующий точный результат и для уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (14.35). Однако сначала рассмотрим общий случай. Предположим, что коэффициенты оператора разложены в сумму так, что для

где

для всех и функция не возрастает по Например, в случае оператора уравнения минимальных поверхностей можно взять

С помощью матрицы введем обобщенное понятие средней кривизны следующим образом. А именно: пусть — точка границы и пусть единичный вектор внутренней нормали к в точке главные кривизны в точке диагональные элементы матрицы вычисленной в базисе относительно главной координатной системы с центром в точке у. Определим

Так как то величины являются взвешенными средними кривизн границы в точке у. Для оператора уравнения минимальных поверхностей, например, имеем: и следовательно,

где средняя кривизна Из леммы 14.17 следует, что кривизны связаны с функцией расстояния по формуле

Чтобы обобщить полученный выше результат для уравнения минимальных поверхностей, предположим, что неравенство

выполняется в каждой точке , Дополнительно предположим, что функции принадлежат и что оператор удовлетворяет структурному условию

т. е. с некоторой неубывающей функцией имеем

Рассмотрим сначала случай, когда функция и равна нулю на Тогда, взяв функцию такой же, как и выше, имеем

в силу (14.4) и (14.43), где

(в силу (14.15) и точка на ближайшая к внутренняя единичная нормаль к в точке у, а постоянная К определяется равенством

Отсюда, используя (14.48), получаем

если только где Взяв функцию определенную формулой (14.11), и взяв постоянную к столь большой, чтобы выполнялось неравенство можно добиться того, что функция будет верхним барьером в каждой точке для оператора и функции и. Нижний барьер строится аналогично, если вместо (14.46) добиться выполнения неравенства

в каждой точке Следовательно, если вьшолнены оба неравенства (14.46) и то функция и будет удовлетворять оценке (14.3) в каждой точке Для получения аналогичных результатов в случае ненулевых граничных значений у мы потребуем, чтобы функции

были равны чтобы выполнялись неравенства

с некоторой неубывающей функцией Для преобразованного оператора определенного формулой (14-5), можно взять

так что условия (14,46) и (14.46) не изменятся. Итак, имеет место следующая оценка.

Теорема 14.6. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению Предположим, оператор удовлетворяет структурным условиям (14.43), (14.50) и что в каждой точке , выполнены неравенства

Тогда справедлива оценка

где постоянная К определяется равенством (14.49), в котором и заменяется на

Как и в случае выпуклой области рассмотренном в разделе 14.2, в предыдущей теореме структурное условие (14.50) можно заменить на условия, не содержащие граничные значения Например, на условие

или на условие

из которых следует (14.50) с некоторой функцией зависящей от результате получим такое следствие теоремы 14.6.

Следствие 14.7, Пусть и функция и удовлетворяет в уравнению на Предположим, дополнительно к (14.43), что выполнено одно из структурных условий (14.53) или (14.54) и что на выполнены неравенства (14.51). Тогда имеет место оценка

где

Если применить следствие 14.7 к уравнению поверхностей с заданной средней кривизной

где то получим следующий результат.

Следствие 14,8. Пусть функция и является решением в уравнения (14.35) и на где , Предположим, средняя кривизна границы удовлетворяет неравенству

Тогда имеет место оценка

где

Точность утверждения следствия 14.8 будет продемонстрирована в следующем разделе. Отметим, что этот результат может быть получен непосредственно, если следовать методу рассмотрения уравнения минимальных поверхностей.

До сих пор для справедливости результатов этого раздела был необходим определенный контроль над поведением максимального собственного значения А величинами или Рассмотрим теперь ситуацию, в которой такой контроль отсутствует, но в которой для компенсации предполагается, что в строгом смысле выполняются неравенства (14.51) всюду на границе Примером такой ситуации является случай в следствии 14.5 со структурным условием (14.32). Далее предполагаемого в разложении (14.43) коэффициенты непрерывны на и что коэффициенты

Пусть функция и удовлетворяет в уравнению где , Предположим, что всюду на выполнены строгие неравенства

Рассмотрим сначала случай, когда Тогда, полагая где k — некоторая положительная постоянная, имеем

в силу (14.59). Из леммы 14.16, соотношения (14.45) и из того, что функция не убывает по следует, что существуют положительные постоянные такие, что в окрестности Следовательно, для достаточно больших Отсюда, взяв к столь большим, что будет выполнено и неравенство получим, что функция является верхним барьером в каждой точке для оператора и функции и. Аналогично функция является соответствующим нижним барьером. Поэтому для неравенство будет выполнено на Этот результат автоматически распространяется на ненулевые граничные значения с помощью замены на и с помощью (14.5). Итак, мы доказали следующую оценку.

Теорема 14.9. Пусть и функция и удовлетворяет в уравнению Предположим, что

оператор удовлетворяет структурным условиям (14.43), (14.59) и что выполнены неравенства (14.60) в каждой точке , Тогда имеет место оценка

где

Зависимость постоянной С в теореме 14.9 от коэффициентов порождается структурными условиями (14.59), а зависимость ее от коэффициентов их модулями непрерывности на

В заключение этого раздела отметим связь полученных здесь результатов с результатами предыдущих разделов. Если в разложении (14.43) имеем то в случае теорема 14.6 приводит к теореме 14.1. Хотя» дальнейшие результаты раздела 14.2 о выпуклых областях не являются частными случаями теорем 14.6 и 14.9, они включаются в более слабые варианты этих теорем, которые даны в задачах 14.2 и 14.3.