16.2. Внутренние оценки градиента

Пусть область в функция из Если гиперповерхность является графиком функции и в то средняя кривизна в (относительно нормали, направленной в сторону возрастания в точке определяется формулой

где

Цель этого раздела — вьюод оценки через Запишем соотношение (16.41) в интегральной форме

для всех Заменяя у на и интегрируя по частям, получаем

для всех (ср. уравнение В (16.43) и всюду далее предполагаем, что Заменим теперь в (16.43) функцию на Тогда получим уравнение

для всех Вычисляем:

в силу . С помощью формулы (14.104) можем записать это соотношение в виде

где

Возьмем далее и предположим, что Заменяя в (16.45) функцию на функцию и используя равенства

можем из (16.45) вывести тождество

для всех Заметим, что функции не зависят от . В (16.46) и далее в этом разделе мы пользуемся правилом суммирования, согласно которому по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до Пусть

Заменяя в (16,46) у на приходим к неравенству

для всех неотрицательных функций Неравенство (16.48) является слабой формой неравенства

В частности, если минимальная, поверхность, т.е. если функция и удовлетворяет в уравнению минимальных поверхностей, то функциям слабо субгармонична на следовательно, к ней применима лемма 16.2, В общем случае можно воспользоваться леммой 16.3 и получить для любой точки , неравенство

если только и функция определена равенством (1627), Обозначая

имеем:

(см. скан)

(по теореме Фубини)

Таким образом, оценка сводятся к оценке для .

Оценка Предположим, что и что (последние предположения не ограничивают общности). Для определим функцию равенством

Возьмем в интегральном тождестве (16.42) пробную функцию где равномерно непрерывная по Липшицу функция, удовлетворяющая соотношениям: при при Заметим, что тождество (16.42) заведомо вьшолняется для всех следовательно, для всех функций у с носителем в равномерно непрерывных по Липшицу. Получаем:

Следовательно,

Оценка Теперь в (16.42) подставим функцию где функция, введенная выше. Получаем:

Для того чтобы получить оценку заменим в неравенстве (16.48) у на и получим неравенство

для всех Используя неравенство Коши получаем

далее

Возьмем функцию у так, что где вне и функцию — такую же, что и выше. Получим тогда

Используя получаем, что

(в силу неравенства Шварца)

Так как то справедливо неравенство

Осталось оценить Для этого в (16.42) возьмем где для для Придем к неравенству

Объединяя полученные выше оценки, получаем неравенства

Требуемая внутрення оценка градиента получается теперь с помощью комбинации оценок (1652), (1653), (1654) и потенцирования.

Теорема 16.5. Пусть область в функция класса Тогда в произвольной точке , имеет место оценка

где даны в (1651)),

Непосредственным следствием теоремы 165 является следующая внутренняя оценка для неотрицательных функций,

Следствие 16,6, Пусть область в неотрицательная функция класса Тогда в произвольной точке выполняется

неравенство

где такие же постоянные, как и в теореме 16.5.

Экспоненциальная форма оценок (1655) и (1656) не может быть улучшена. Это подтверждается для минимальных поверхностей примером, построенным в [306]. В следующем разделе мы применим теорему 16.5 к задаче Дирихле с непрерывными граничными данными для уравнения минимальных поверхностей и для уравнений поверхностей с заданной средней кривизной. Дальнейшие применения к уравнению минимальных поверхностей указаны в задаче 16,4. Завершим раздел рассмотрением внутренних оценок для производных высокого порядка, которые получаются из теоремы 165, для оценки Гёльдера (теорема 12.1) и для внутренних оценок Шаудера (теорема 6.2 и задача 6.1)

Следствие 16.7. Пусть - область в функция класса график которой имеет среднюю кривизну Тогда и и в любой точке , для любого мультииндекса выполнено неравенство

где