Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
можем из (16.45) вывести тождество
для всех
Заметим, что функции
не зависят от
. В (16.46) и далее в этом разделе мы пользуемся правилом суммирования, согласно которому по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до
Пусть
Заменяя в (16,46) у на
приходим к неравенству
для всех неотрицательных функций
Неравенство (16.48) является слабой формой неравенства
В частности, если
минимальная, поверхность, т.е. если функция и удовлетворяет в
уравнению минимальных поверхностей, то функциям
слабо субгармонична на
следовательно, к ней применима лемма 16.2, В общем случае можно воспользоваться леммой 16.3 и получить для любой точки
, неравенство
если только
и функция
определена равенством (1627), Обозначая
имеем:
(см. скан)
далее
Возьмем функцию у так, что
где
вне
и функцию
— такую же, что и выше. Получим тогда
Используя
получаем, что
(в силу неравенства Шварца)
Так как
то справедливо неравенство
Осталось оценить
Для этого в (16.42) возьмем
где
для
для
Придем к неравенству
Объединяя полученные выше оценки, получаем неравенства
Требуемая внутрення оценка градиента получается теперь с помощью комбинации оценок (1652), (1653), (1654) и потенцирования.
Теорема 16.5. Пусть
область в
функция класса
Тогда в произвольной точке
, имеет место оценка
где
даны в (1651)),
Непосредственным следствием теоремы 165 является следующая внутренняя оценка для неотрицательных функций,
Следствие 16,6, Пусть
область в
неотрицательная функция класса
Тогда в произвольной точке
выполняется