8.12. Задача на собственные значения

В силу теоремы 8.6 из теории Фредгольма следует, что эллиптический оператор вида (8.1) имеет не более чем счетное число собственных значений. В этом разделе мы дадим прямое доказательство того, что самосопряженный оператор имеет собственные значения, и рассмотрим их свойства. Представляет интерес дать здесь доказательство существования собственных значений несмотря на то, что этот факт следует и из результатов классического функционального анализа.

Предположим, что оператор самосопряжен и имеет вид

где симметричная матрица. Соответствующий квадратичный функционал на гильбертовом пространстве определяется формулой

Отношение

называется отношением Релея для оператора Рассмотрим вариационную задачу минимизации . В силу леммы 8.4 функционал ограничен

снизу. Следовательно, существует

Мы утверждаем, что число о является минимальным собственным значением оператора на , т. е. существует нетривиальная функция и такая, что

и число наименьшее число, для которого это возможно. Чтобы доказать сформулированное утверждение, возьмем минимизирующую последовательность такую, что а при В силу (8.5) и (8.6) получаем, что последовательность ограничена в , и, так как вложение компактно (теорема 7.22), существует подпоследовательность последовательности сходящяся в к функции и с нормой Обозначим эту подпоследовательность также через Так как функционал квадратичен, то для любых имеем

т. е.

при Снова применяя лемму 8.4, получаем, что последовательность является последовательностью Коши в . Следовательно, Вывод уравнения Эйлера (8.83) осуществляется стандартным способом, если рассмотреть функцию для и и вычислить производную .

Число а, как легко видеть, является минимальным собственным значением, так как существование любого меньшего собственного значения противоречило бы равенству (8.92). Расположим собственные значения в неубывающем порядке и обозначим соответствующие им собственные подпространства через Последовательные собственные числа могут быть охарактеризованы следующим образом:

Разрешимость записанных здесь вариационных задач доказывается точно так же, как и в случае Кроме того, процессом (8.94) будут выявлены все возможные собственные значения оператора а соответствующие им собственные функции будут образовывать плотное в Я множество. Подведем итог.

Теорема 8.37. Пусть самосопряженный оператор, удовлетворяющий условиям (8.5) и (8.6). Тогда существует счетное дискретное множество от собственных значений оператора заданных соотношениями (8.94), а соответствующие им собственные функции таковы, что их линейная оболочка совпадает с .

Решение задачи Дирихле для оператора можно представить в виде разложения по собственным функциям (см. [140]). Полученные выше результаты о регулярности применимы и к собственным функциям. В частности, оказьюается, что эти собственные функции принадлежат с некоторым показателем (см. теоремы 8.15 и 8.24) и принадлежат если область достаточно гладкая (теорема 8.29). Если коэффициенты оператора , бесконечно дифференцируемы, то такими же будут и собственные функции (следствие 8.11).

В заключение отметим одно специальное свойство минимального собственного значения

Теорема 8.38. Пусть самосопряженный оператор, удовлетворяющий условиям (8.5) и (8.6). Тогда минимальное собственное значение простое, а соответствующая ему собственная функция не равна нулю и может быть взята положительной.

Доказательство. Если функция и является собственной функцией, соответствующей собственному числу то из равенства (8.92) следует, что функция также является собственной функцией для этого же собственного значения. Тогда в силу неравенства Харнака (теорема 8.21) функция будет положительна почти всюду в Следовательно, собственное число имеет положительную собственную функцию. Точно так же доказьюается, что собственная функция для или положительна, или отрицательна. Но две такие функции не могут быть ортогональными друг другу. Это значит, что пространство одномерно и собственное число простое.

Примечания

Метод гильбертова пространства или вариационный подход к задаче Дирихле для линейных эллиптических уравнений имеется уже в работах Гильберта [69] и Лебега [155] об уравнении Лапласа. В течение этого столетия он был развит многими исследователями, включая, в частности, Фридрихса [314], [315] и Гординга [71]. Для дальнейшего знакомства с этими вопросами читатель отсылается к книгам [1], [32] и [313]. -щенная задача Дирихле, рассмотренная нами в разделе 8.2, изучалась Ладыженской и Уральцевой [147] и Стампаккья [273], [274]. Этими авторами доказана альтернатива Фредгольма (теорема 8.6), однако их результаты по проблеме существования и единственности более слабые, нежели изложенные здесь, из-за наличия условий малости и коэрцитивности. Слабый принцип максимума (теорема 8.1), хотя и является непосредственным следствием слабого неравенства Харнака, появился в [282], а первая статья об этом принадлежит Чикко [338] (см. также [363]). В своем изложении мы следовали доказательству Трудингера [288], имеющему то преимущество, что оно легко переносится на неравномерно эллиптические уравнения. При справедливости альтернативы Фредгольма теорема существования (теорема 8.3) является непосредственным следствием слабого принципа максимума.

Теоремы о существовании у слабых решений слабых производных высокого порядка, изложенные в разделе 8.3 и 8.4, были доказаны различными авторами, в том числе: Фридрихсом [315], Браудером [43],

Лаксом [141] и Ниренбергом [215], [216]; см. также [1], [32] и [313]. Глобальная оценка (теорема 8.15) получена в работах [147] и [273], [274]. Она является обобщением более раннего результата Стампаккья [270], [271]. Доказательство ее с помощью итерационной техники Мозера, осуществленное в этой книге, следует Серрину [262]. Априорная оценка (теорема 8.16) получена Трудингером [288].

Локальные поточечные оценки, описанные в конце гл. 8, появились из пионерской работы Де Джорджи [76], в которой доказан специальный случай теорем 8.17 и 8.22 для уравнения вида

(см. также работу Нэша [224]). На линейные уравнения вида, рассмотренного в книге, результаты Де Джорджи были обобщены Морри [207], Стампаккья [272], а на квазилинейные уравнения дивергентного вида Ладыженской и Уральцевой [145]. Интересное новое доказательство результата Де Джорджи дал Мозер [209]. Его доказательство обобщается на более широкий класс уравнений (см. [147]) и может быть применено для доказательства теорем 8.22 и 8.24 и для получения граничных оценок (теорема 8.29) (см. задачу 8.6). Неравенство Харнака для слабых решений уравнения (8.93) было доказано Мозером [210] и обобщено на квазилинейные уравнения дивергентного вида Серрином [262] и Трудингером [282]. Наш метод получения локальных оценок теорем 8.18 и 8.26 основан на слабом неравенстве Харнака, полученном в [282]. Отметим, что в случае уравнения с двумя независимыми переменными оценка Гёльдера и неравенство Харнака могут быть получены более простыми методами, см, [206], [31] и задачу 8.5. Точные результаты в этом случае см. в [235] и в [52]. Изложение теорем 8.25 - 8.30 в разделе 8.10 следует работе [282], в которой дано доказательство достаточности условия Винера, более простое, чем доказательство Гариепи и Цимер [60].

Методы и результаты разделов 8.1 и 8.2 могут быть перенесены на другие типы граничных задач. В частности, можно рассмотреть обобщенный вариант смешанной краевой задачи

где открытый кусок класса лежащий на границе внешняя нормаль к на Для функций функция и называется обобщенным решением граничной задачи (8.96), если и выполнено тождество

для всех функций . Здесь через обозначено замыкание пространства по метрике . В этом случае справедлив следующий слабый принцип максимума: если выполнены условия (8.5) и (8.6) и неравенство (ср. с (8.8))

для любой функции , то любая функция и удовлетворяющая неравенству для всех неотрицательных функций , должна или удовлетворять неравенству или быть положительной постоянной. Из этого утверждения следует единственность обобщенного решения задачи (8.96), если или на или При выполнении последних условий обобщенные решения задачи (8.96) могут отличаться только на постоянную.

Аналог теоремы существования (теорема 8.2) может быть получен также с помощью альтернативы Фредгольма. Принцип максимума для смешанных граничных задач рассматривался в работах [340] и [292]. В последней работе утверждения, сформулированные выше, доказаны для широкого класса неравномерно эллиптических уравнений.

Наконец, отметим, что непосредственно в рамках теории гильбертовых пространств с помощью метода Кампанато, использующего некоторые интегральные характеристики пространств Гёльдера, может быть построена теория Шаудера, которая благодаря этому становится независимой от теории потенциала, изложенной в гл. 4 (см. [111], [89]).

Задачи

(см. скан)

(см. скан)